、连续型随机变量的数学期望 定义设X是连续型随机变量,其密度函数为f(x),如果 f(xdx 绝对收敛,定义X的数学期望为E(X)=xf(x)dk 三、随机变量函数的数学期望 设X是一随机变量,g(x)为一实函数,则Y=g(X)也是一随机变量,理论上,虽然可通 过X的分布求出g(X)的分布,再按定义求出g(X)的数学期望Eg(X)].但这种求法一般 比较复杂.下面不加证明地引入有关计算随机变量函数的数学期望的定理 定理1设X是一个随机变量,Y=g(X),且E(Y)存在,则 (1)若X为离散型随机变量,其概率分布为 P{X=x}=P2i=1,2, 则Y的数学期望为 E()=Eg(X=∑g(x)P (2)若X为连续型随机变量,其概率密度为f(x),则的数学期望为 E(D)=8(x)=8(x)/(xk 注:()定理的重要性在于求Eg(O时,不必知道g(X)的分布,只需知道X的分布即可 这给求随机变量函数的数学期望带来很大方便 (i)上述定理可推广到二维以上的情形,即有 定理2设(X,Y)是二维随机向量,Z=g(X,Y),且E(Z)存在,则 (1)若(X,Y)为离散型随机向量,其概率分布为 P{X=x,=y}=P(,j=12,…) 则Z的数学期望为 E(Z)=E8(X,)=∑∑8(x,y) (2)若(X,Y)为连续型随机向量,其概率密度为∫(x,y)则Z的数学期望为 E(Z)=EIg(X, r)]=LL 四、数学期望的性质 1.设C是常数,则E(C)=C 2.若k是常数,则E(k)=kE(X E(X1+X2)=E(X1)+E(X2) 4.设X,Y独立,则E(YY)=E(X)E(Y) 注:()由E(XY)=E(Y)E(Y)不一定能推出X,Y独立,例如,在例10中,已计算得二、连续型随机变量的数学期望 定义 设 X 是连续型随机变量, 其密度函数为 f (x) ,如果   − xf (x)dx 绝对收敛, 定义 X 的数学期望为 ( ) ( ) .   − E X = xf x dx 三、随机变量函数的数学期望 设 X 是一随机变量, g(x) 为一实函数,则 Y = g(X) 也是一随机变量, 理论上, 虽然可通 过 X 的分布求出 g(X) 的分布, 再按定义求出 g(X) 的数学期望 E[g(X)] . 但这种求法一般 比较复杂. 下面不加证明地引入有关计算随机变量函数的数学期望的定理. 定理 1 设 X 是一个随机变量, Y = g(X) ,且 E(Y) 存在, 则 （1） 若 X 为离散型随机变量, 其概率分布为 P{X = xi } = pi ,i =1,2,  则 Y 的数学期望为 ( ) [ ( )] ( ) . 1   = = = i i pi E Y E g X g x （2） 若 X 为连续型随机变量, 其概率密度为 f (x) , 则 Y 的数学期望为 ( ) [ ( )] ( ) ( ) .   − E Y = E g X = g x f x dx 注: (i)定理的重要性在于:求 E[g(X)] 时, 不必知道 g(X) 的分布, 只需知道 X 的分布即可. 这给求随机变量函数的数学期望带来很大方便; (ii) 上述定理可推广到二维以上的情形, 即有 定理 2 设 (X,Y) 是二维随机向量, Z = g(X,Y) ,且 E(Z) 存在, 则 （1）若 (X,Y) 为离散型随机向量, 其概率分布为 P{X = x ,Y = y }= p (i, j =1,2, ) i j ij 则 Z 的数学期望为 ( ) [ ( , )] ( , ) , 1 1   =  = = = j i i j pij E Z E g X Y g x y （2） 若 (X,Y) 为连续型随机向量, 其概率密度为 f (x, y) 则 Z 的数学期望为 ( ) [ ( , )] ( , ) ( , ) .    −  − E Z = E g X Y = g x y f x y dx 四、数学期望的性质 1. 设 C 是常数, 则 E(C) = C; 2．若 k 是常数，则 E(kX) = kE(X); 3. ( ) ( ) ( ); E X1 + X2 = E X1 + E X2 4. 设 X,Y 独立, 则 E(XY) = E(X)E(Y) ; 注: (i) 由 E(XY) = E(X)E(Y) 不一定能推出 X,Y 独立，例如，在例 10 中，已计算得