偏害共生关系中,一种微生物在代谢过程产生的有机或无机产物会抑制其它微生物的生 长。微生物所合成的某些次级代谢产物,如抗生素,就起着这样的作用 在寄生关系中,一种较小的有机体寄生在一个较大的宿主细胞上,通过消耗宿主细胞来 满足寄生菌的营养需求。寄生者不一定杀死宿主细胞,这一点是与捕食关系相区别的关键。 噬菌体系统就是典型的寄生关系,噬菌体本身不会利用环境中的营养物质,完全通过获取宿 主细胞中的遗传物质进行复制和合成,因此噬菌体是发酵工业的大敌 在捕食关系中存在着捕食者( Predator)和牺牲品(Prey)之间的关系。捕食者通过掠夺牺牲 品使自己大量繁殖,但是当繁殖到一定程度时,就会出现牺牲品数量大量减少、满足不了捕 食者需要的情况,捕食者本身开始死亡。捕食者的数目减少又会使牺牲品恢复增长,捕食者 由于有了充分的食物也会随之增长,开始新一轮的循环。捕食关系已经在微生物和动物界中 得到证明,并在活性污泥法处理废水时起着重要作用。下面将从数学角度举例说明这种关系 例121.1在微生物群中捕食者-牺牲品关系的 Lotka- Volterra公式 设在系统中捕食者和牺牲品的数量分别为n和n,牺牲品的生长速率可以用一级反应 动力学描述,而捕食者的生长速率则与n和n的乘积成正比,求捕食者和牺牲品的关系式 解:系统中捕食者和牺牲品的物料平衡公式可以分别表示为 (12-1) dt =-bn2+a1n2 (12-2) dt 式中,a是n的生长速率常数;γ是牺牲品被捕食者捕食的有效消失速率常数;ε是捕食者的 生长速率常数:b是捕食者的死亡速率常数。上述两个常微分方程的解是 n, b 为了了解式(12-1)和(12-2)所描述的动态行为,需要研究nt)与n2(t)之间的关系。将式 (12-1)和式(12-2)相除,得到 dn,/dt -bn,+Em,,(b+8m )n, dn, /dt an,-m,n, (a-m, )n 上式两边乘以(a-m2)d1/d)/m2后重排, (12-5) dt 这样将式(125)积分,可以得到: ahn,-m2+bhn,-Em=C (12-6)3 偏害共生关系中，一种微生物在代谢过程产生的有机或无机产物会抑制其它微生物的生 长。微生物所合成的某些次级代谢产物，如抗生素，就起着这样的作用。 在寄生关系中，一种较小的有机体寄生在一个较大的宿主细胞上，通过消耗宿主细胞来 满足寄生菌的营养需求。寄生者不一定杀死宿主细胞，这一点是与捕食关系相区别的关键。 噬菌体系统就是典型的寄生关系，噬菌体本身不会利用环境中的营养物质，完全通过获取宿 主细胞中的遗传物质进行复制和合成，因此噬菌体是发酵工业的大敌。 在捕食关系中存在着捕食者(Predator)和牺牲品(Prey)之间的关系。捕食者通过掠夺牺牲 品使自己大量繁殖，但是当繁殖到一定程度时，就会出现牺牲品数量大量减少、满足不了捕 食者需要的情况，捕食者本身开始死亡。捕食者的数目减少又会使牺牲品恢复增长，捕食者 由于有了充分的食物也会随之增长，开始新一轮的循环。捕食关系已经在微生物和动物界中 得到证明，并在活性污泥法处理废水时起着重要作用。下面将从数学角度举例说明这种关系。 例 12.1.1 在微生物群中捕食者-牺牲品关系的 Lotka-Volterra 公式 设在系统中捕食者和牺牲品的数量分别为 n2 和 n1，牺牲品的生长速率可以用一级反应 动力学描述，而捕食者的生长速率则与 n2 和 n1 的乘积成正比，求捕食者和牺牲品的关系式。 解：系统中捕食者和牺牲品的物料平衡公式可以分别表示为： 1 1 2 1 an n n dt dn = − (12-1) 2 1 2 2 bn n n dt dn = − +  (12-2) 式中，a 是 n1 的生长速率常数；是牺牲品被捕食者捕食的有效消失速率常数；是捕食者的 生长速率常数；b 是捕食者的死亡速率常数。上述两个常微分方程的解是：  b n1 =   a n2 =  (12-3) 为了了解式（12-1）和（12-2）所描述的动态行为，需要研究 n1(t)与 n2(t)之间的关系。将式 （12-1）和式（12-2）相除，得到： 2 1 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 ( ) ( ) / / a n n b n n an n n bn n n dn dt dn dt       − − + = − − + = (12-4) 上式两边乘以 2 1 2 (a −n )(dn / dt)/ n 后重排， dt dn dt dn n b dt dn dt dn n a 1 1 1 2 2 2 − = − +   (12-5) 这样将式（12-5）积分，可以得到： aln n2 −n2 + bln n1 −n1 = C (12-6) ( ) ( ) C n b n a e e n e n =                    2 1 2 1 (12-7)