第4讲函数概念(4) 13 第4讲函教概念(4) 、初等函数 由基本初等函数经过有限次的四则运算或有限次的函数复合运算所得到的,并且可以 用一个式子表示的函数都叫做初等函数·微积分的主要研究对象是初等函数 例1已知函数f(x)的定义域是(0,1),求f(x2)的定义域. 解函数y=f(x2)可以看成是由y=f(t)t=x2复合而成.由于y=f(t)的定义 域是(0,1),对t=x2来说,为使t∈(0,1),显然有x∈(-1,0)或x∈(0,1).所以,f(x2) 的定义域为(-1,0)∪(0,1) 注意注意上述定义中的“有限次”与“一个式子”两个条件,函数y=x+2++ …++…不是初等函数因为它是由基本初等函数经过无穷次四则运算得到的,分段函 数一般来说不是初等函数. 二、分段函数 如果一个函数在其定义域内,对应于不同的区间段有着不同的表达形式,则该函数称为 分段函数 2 ≥2 例2已知f(x)= (x≠-1),求f(0),f(4),f x<2 解∷0<2,f0)=39=2,:4>2,∴:f()=4=2 计算f(a)时要分两种情况: 当a≥2时,a)=2+,当a<2时,)=2-,(a≠-1 注意分段函数的定义域要分段考虑. 例3设f(x)= 0≤x≤1; 1<x≤2, 求下列函数的定义域 (1)f(2x);(2)f(x+3) 解(1)f(2x)= 0≤2x≤1; 1,1<2x≤2. 0≤x≤1; <x≤1 从而f(2x)的定义域为[0,]UG,1]=[0,1] (2)∫(x+3)= 0≤x+3≤1; -1,1<x+3≤2. 3≤x≤-2; 2<x≤-1