14 高等数学重点难点100讲 从而f(x+3)的定义域为[一3,-2]U(-2,-1]=「-3,-1] 注意计算f(3x)或f(x+3)时,应将原来函数关系式中出现变量x的地方皆用3x 或x+3代替特别不能忘记要将表示自变量取值范围中的x用3x或x+3代替 注意分段函数的单调性应分段考虑 倒4(单项选择题)函数f(x)=(1+x2,x≤0 是() x-2,x>0 (A)在(-∞,+∞)单调增; (B)在(-∞,+∞)单调减 (C)在(一∞,0)单调增,(0,+∞)单调减;(D)在(一∞,0)单调减,(0,+∞)单调增 解在(一∞,0]上任取x1;x2,x1<x2≤0. f(x1)-f(x2)=(1+x)-(1+x)=(x1-x2)(x1+x2) x1<x2≤0,x1-x2<0,x1+x2<0,f()-f(x2)>0 即f(x1)>∫(x2),故∫(x)在(一∞,0]上单调减少 在(0,+∞)内任取x,x2,0<x<x2,f(x1)-f(x2)=(x1-2)-(x2-2)=x x2<0,即∫(x1)<f(x2).故∫(x)在(0,十∞)单调增加. 综上,选D 注意求分段函数的反函数.要分别求出各区间段的反函数及定义域 3x+1, 3≤x<0; 例5求f(x)={32 0≤x<1;的反函数 2 1≤x≤3 解(1)当-3≤x<0时,函数y=3x+1的值域为:-8≤y<1,解出x x与y互换得该段的反函数为y=1,-8≤x<1 (2)当0≤x<1时,函数y=3的值域为1≤y<3,且x=log;y,于是该段的反函 数为:y=log3x,1≤x<3; (3)当1≤x≤3时,y=x2+2,y的取值范围为:3≤y≤1,解出x=±√y-2 又因1≤x≤3,故取x=√y-2,交换x,y,得该段的反函数:y=√x-2,3≤x≤11: 8≤x<1; (4)综上,函数f(x)的反函数为∫-1(x)= 3 1≤x<3; √x-2 3≤x≤11. 注意在求分段函数的复合函数时,也要分段求解 例6设f(x)=)(x+|x|),gx)= x<0 x2,x≥0, 求fy(x)] 解(1)将gx)代入f(x)得 fx)=(q(x)+|x)|) 0,g(x)<0…分段函数的第一段; p(x)≥0……分段函数的第二段 (2)分段求出复合函数 ①考虑第一段:[x)]=0,g(x)<0,9(x)= e-,x<0; 0. 使得x)<0,即gx)= <0,x<0; 0,x≥0 成立的x的取值为空集 φ={x|e-‘<0,x<0}U(x|x2<0,x≥0}