f(x)=-,x∈(0.1) x0∈(0,1),lm=-,由函数极限的局部有界性定理可知f(x)在点x0处局有部界,但是 f(x)在(0,1)上是无界的 存在(0,1)上的函数f(x),它在(O,1)内任何点都不是局部有界的.例如:定义在(0,1) 上的函数 当x=2,p,q为互质正整数 f(x) 0,当x为(0,1)内的无理数 yxn∈(01),彐有理数列{x,},严格递增,且x1→x,设x1=P,数列{qn}必定无界,这是 qs 因为假如{q}有界,则{x}中最多有限项互不相等,与{x}的严格递增性相矛盾.对x的任何邻域 U(x0),丑K>0,当k>K时,x∈U(x0).由{q4}的无界性,M>0,3x1(k>K),使得 f(x4)=q4>M,即f(x)在点x的任何邻域内无界,即f(x)在(0,1)中任何点处都不是局部有 界的 问题2极限除法法则(2.4)中为什么只假设limg(x)≠0,而不假设g(x)≠0? 答若lmg(x)≠0,由函数极限局部保号性,彐邻域U(x。),ⅵx∈U°(x),f(x)≠0,这就 保证了分式J(x0)内有意义,且mf(x)mf(x) x→g(x)limg(x) 若只设g(x)≠0,有可能img(x)=0,于是极限除法法则不成立.例如g(x)=(x-x0)2,当 x≠x0时,g(x)≠0,但是Img(x)=0 §3函数极限存在的条件 问题1设∫为定义在U°(x0)上的单调有界函数,则f(x0+0)存在但在(3.8)中,若∫为 U°(x0)上的单调函数,则f(x0+0)也存在,那里并不要求有界性条件,为什么? 答在那里∫在U°(x0)上的递增性,保证了∫在U°+(x0)内的有下界性.这是因为取定 x'∈U°(x),x∈U°,(x0),有f(x)≥f(x),即f(x)为f(x)在U°,(x0)内的一个下界,于是 由函数极限的单调有界定理,x f x 1 ( ) = ， x(0,1) . (0,1) x0  ， 0 1 1 lim 0 x x x x = → ，由函数极限的局部有界性定理可知 f (x) 在点 0 x 处局有部界，但是 f (x) 在（0，1）上是无界的. 存在（0，1）上的函数 f (x) ，它在（0，1）内任何点都不是局部有界的. 例如：定义在（0，1） 上的函数 q, 当 q p x = ，p，q 为互质正整数， f (x) = 0， 当 x 为（0，1）内的无理数. (0,1) x0  ，  有理数列 xk  ，严格递增，且 0 x x k → . 设 k k k q p x = ，数列 { } qk 必定无界，这是 因为假如 { } qk 有界，则 xk  中最多有限项互不相等，与 xk  的严格递增性相矛盾. 对 0 x 的任何邻域 ( ) 0 U x ， K  0 ，当 k>K 时， ( ) 0 x U x k  . 由 { } qk 的无界性， M  0 ， x (k K)  k  ，使得 f (xk ) = qk  M ，即 f (x) 在点 0 x 的任何邻域内无界，即 f (x) 在（0，1）中任何点处都不是局部有 界的. 问题 2 极限除法法则（2.4）中为什么只假设 lim ( ) 0 0  → g x x x ，而不假设 g(x)  0 ？ 答 若 lim ( ) 0 0  → g x x x ，由函数极限局部保号性，  邻域 ( ) 0 U x ， ( ) 0 xU x ， f (x) ≠0，这就 保证了分式 ( ) ( ) g x f x 在 ( ) 0 U x 内有意义，且 lim ( ) lim ( ) ( ) ( ) lim 0 0 0 g x f x g x f x x x x x x x → → → = . 若只设 g(x)  0 ，有可能 lim ( ) 0 0 = → g x x x ，于是极限除法法则不成立. 例如 2 0 g(x) = (x − x ) ，当 0 x  x 时， g(x)  0 ，但是 lim ( ) 0 0 = → g x x x . §3 函数极限存在的条件 问题 1 设 f 为定义在 ( ) 0 U x +  上的单调有界函数，则 ( 0) f x0 + 存在. 但在（3.8）中，若 f 为 ( ) 0 U x 上的单调函数，则 ( 0) f x 0+ 也存在，那里并不要求有界性条件，为什么？ 答 在那里 f 在 ( ) 0 U x 上的递增性，保证了 f 在 ( ) 0 U x +  内的有下界性. 这是因为取定 ( ) 0 x U x −   ，x ( ) 0 U x +  ，有 f (x) ≥ f (x ) ，即 f (x ) 为 f (x) 在 ( ) 0 U x +  内的一个下界，于是 由函数极限的单调有界定理