CL,0)的折线段 分析若将直线B和BC的方程写出，代入积分式直接计算则比较麻烦，所以考虑用 格林公式计算，但是L不是封闭曲线，须添加辅助线段C使曲线封闭，并注意到封闭折线 ABCA的方向为负向，应用格林公式时在二重积分前要添加负号. 解◆x=Q-,则婴器-12，且酸aa=0, x由1变化到-1，故有 ∫Jt+(siny-x =∮c+(5ny-x冰-at+(sny-xd =-2dd-T0本=2dd=2 图9-8 其中D为ABCA所围成的闭区域. 例1计算手：些，其中L为稀圆周4忙+y广=1，取道时针方向 分析此题可以直接计算，也可应用格林公式，但是应注意奇点。 解法1直接计算，L的参数方程为：x=0s0,y=5in0,0从0到2x,则 手字-em0 c0s20+sin20 =209+4sm00 -42% 注意到0受0：为被积数的无为间新点。故广号为反花积分，因 -02%% 其中2-t0m=思tn2m-2m0-号：同理可为 儡%广%-受·4品%号 所以 C(1,0) 的折线段． 分析 若将直线 AB 和 BC 的方程写出，代入积分式直接计算则比较麻烦，所以考虑用 格林公式计算，但是 L 不是封闭曲线，须添加辅助线段 CA 使曲线封闭，并注意到封闭折线 ABCA 的方向为负向，应用格林公式时在二重积分前要添加负号． 解 令 P x y y ( , ) = ， 3 Q x y y x ( , ) sin = − ，则 1 1 2 Q P x y   − = − − = −   ，且线段 CA y: 0 = ， x 由 1 变化到-1，故有 3 ( sin ) L ydx y x dy + −  3 ( sin ) ABCA = + − ydx y x dy  3 ( sin ) CA − + − ydx y x dy  1 1 ( 2) 0 2 2 D D dxdy dx dxdy − = − − −  = =    ． 图 9－8 其中 D 为 ABCA 所围成的闭区域． 例 11 计算 2 2 L xdy ydx x y − +  ，其中 L 为椭圆周 2 2 4 1 x y + = ，取逆时针方向． 分析 此题可以直接计算，也可应用格林公式，但是应注意奇点． 解法 1 直接计算， L 的参数方程为: 1 cos 2 x =  ， y = sin ， 从 0 到 2 ，则 2 2 L xdy ydx x y − +  2 2 2 0 2 2 1 1 cos sin 2 2 1 cos sin 4 d       + = +  2 2 2 0 1 2 cos 4sin d     = +  2 2 0 (2 tan ) 1 4 tan  d   = +  ． 注意到 3 , 2 2     = = 为被积函数的无穷间断点，故 2 2 0 (2 tan ) 1 4 tan  d  +   为反常积分，因此 2 2 L xdy ydx x y − +  2 2 2 2 0 (2 tan ) (2 tan ) 1 4 tan 1 4 tan d d        = + + +   3 2 3 2 2 2 2 (2 tan ) (2 tan ) 1 4 tan 1 4 tan d d         + + + +   ， 其中 2 2 2 2 0 0 ( ) (2tan ) [arctan(2tan )] lim arctan(2tan ) arctan(2tan 0) 1 4tan 2 d          → − = = − = +  ；同理可得 2 2 (2 tan ) 1 4 tan 2 d      = +  ， 3 2 2 (2 tan ) 1 4 tan 2 d      = +  ， 3 2 2 2 (2 tan ) 1 4 tan 2 d      = +  ． 所以 2 2 L xdy ydx x y − +  2 2222  = + + + =  ． x y o C(1,0) B(2,1) A( 1,0) −