解法3设P=xQ=x,故-是=1，由曲线积分与积分路径无关得 ∫达+=∫+x动=0，其中B:y=0 架法4利用格林公式设P=Q=,则有器-器=1，由于积分降径不封，需 要作辅助线函：y=0,记BA与L所围成的闭区域为D,得 ∫达+x动=j:丽+x-J达+ =∬0do+Jt+=0. 注1当积分曲线L关于某个坐标轴对称时，可以考虑采用对称性来计算第二类曲线 分.一般地，有以下的结论： 若曲线L关于x轴对称，记L是L的y≥0的部分，fx,)在L上连续，则 a.∫fx,yd=2fxyd(若fx,)是关于y的奇函数). b.∫f任，=0（若fx,)是关于y的偶函数） 若曲线L关于y轴对称，记马是L的x之0的部分，fx)在L上连续，则 a.∫x,yd=2fx,y(若fx,)是关于x的奇函数). b.∫/优=0（若x,)是关于x的偶函数）. 注2利用格林公式计算对坐标的曲线积分[P本+O山时，应注意以下几点： (1)心，义在区域G内连续，闭区域D的边界曲线L应取正向 dv'x (2)若L为非封闭曲线，直接计算又较困难，可添加辅助线C使L+C为封闭曲线， 然后使用格林公式，若L+C的方向为负向，格林公式中二重积分前要加负号，并注意 =∮c人，同时注意补上的曲线要便于积分的计算。 ③)若号器在D中某点（化，）不连续，要适过添加错助强线C挖去化》)后再使 用格林公式，并要注意C的方向的选取。 (4)在曲线积分中，可将L的表达式代入被积表达式，但是使用格林公式将曲线积分 化为二重积分后，在D内的点(x,)已不再满足L的方程，不应再将L的表达式代入二重积 分的被积表达式。 例10计算∫+(5iny-x炒，如图9-8所示，L是依次连接4《-1,0)，B2,1)解法 3 设 P y Q x = = , ，故 1 P Q y x   = =   ，由曲线积分与积分路径无关得 0 L AB ydx xdy ydx xdy + = + =   ，其中 AB y: 0 = ． 解法 4 利用格林公式．设 P y Q x = = , ，则有 1 P Q y x   = =   ，由于积分路径不封闭，需 要作辅助线 BA : 0 y = ，记 BA 与 L 所围成的闭区域为 D ，得 L L BA BA ydx xdy ydx xdy ydx xdy + + = + − +    0 0 AB D = + + = d ydx xdy    ． 注 1 当积分曲线 L 关于某个坐标轴对称时，可以考虑采用对称性来计算第二类曲线 分．一般地，有以下的结论: 若曲线 L 关于 x 轴对称，记 L1 是 L 的 y  0 的部分， f x y ( , ) 在 L 上连续，则 a． ( , ) L f x y dx  = 1 2 ( , ) L f x y dx  （若 f x y ( , ) 是关于 y 的奇函数）． b． ( , ) L f x y dx  = 0 （若 f x y ( , ) 是关于 y 的偶函数）． 若曲线 L 关于 y 轴对称，记 L1 是 L 的 x  0 的部分， f x y ( , ) 在 L 上连续，则 a． ( , ) L f x y dy  = 1 2 ( , ) L f x y dy  （若 f x y ( , ) 是关于 x 的奇函数）． b． ( , ) L f x y dy  = 0 （若 f x y ( , ) 是关于 x 的偶函数）． 注 2 利用格林公式计算对坐标的曲线积分 L Pdx Qdy +  时，应注意以下几点: （1） , P Q y x     在区域 G 内连续，闭区域 D 的边界曲线 L 应取正向． （2）若 L 为非封闭曲线，直接计算又较困难，可添加辅助线 C 使 L C+ 为封闭曲线， 然后使用格林公式，若 L C+ 的方向为负向，格林公式中二重积分前要加负号，并注意 L L C C + = −    ，同时注意补上的曲线要便于积分的计算． （3）若 , P Q y x     在 D 中某点 0 0 ( , ) x y 不连续，要通过添加辅助曲线 C 挖去 0 0 ( , ) x y 后再使 用格林公式，并要注意 C 的方向的选取． （4）在曲线积分中，可将 L 的表达式代入被积表达式，但是使用格林公式将曲线积分 化为二重积分后，在 D 内的点 ( , ) x y 已不再满足 L 的方程，不应再将 L 的表达式代入二重积 分的被积表达式． 例 10 计算 3 ( sin ) L ydx y x dy + −  ，如图 9－8 所示， L 是依次连接 A( 1,0), − B(2,1)