解法2以y为自变量，L的方程为x=y(0≤y≤)，则 ∫x2+y+(x2-y)=∫(-2yd=∫22=号 L,的方程为x=2-y起始点对应的自变量值为1，终点对应的自变量值为0.由于 =-∫x2k+x2=0, 故有2+y2+(62-y2炒=°-2y2=子，所以 2+yr+2-y=号 注将对坐标的曲线积分直接化为对参数变量的定积分时应当注意： (1)当被积函数P,Q的形式较为简单，将积分曲线L的方程代入积分式计算定积分比较 容易时，可直接计算。 (2)参变量的选取视积分曲线具体形式而定，积分下限与上限分别为积分路径的起点与 终点所对应的参数值，这与对弧长的曲线积分不同：当积分曲线分段光滑时，应分段积分， 并注意各自选择适宜的参数变量作为积分变量 例9计算+，如图9-7所示，L是从点4(-a,0) 沿上半圆周2+y2=d到点Ba,0)的一段弧。 -a,0 B(a,0)x 分析关于对坐标的曲线积分的计算，与对弧长的曲线积分 相似，也分三种，不同之处在于：对坐标的曲线积分中的曲线为 图9-7 有向的，因此化为定积分时，积分上、下限只与曲线的起点和终点有关，而与其大小无关 解法1利用直角坐标计算.记L为x+y2=d上从点C0,a)到点B(a,0)的一段劣 弧.则 ∫=V后-x=a2(定积分的几何意义) 动=2可=2匠-=-a, 所以∫+动=0. 解法2利用曲线的参数方程计算.L的参数方程为：x=acos0,y=asin0,在起点 4(-a,0)处参数值取元，在终点Ba,0)处参数值相应取0，故0从r到0.则 +xdy=asinOd(acos0)+acos0d(asin0)==0 解法 2 以 y 为自变量， L1 的方程为 x y = (0 1)  y ，则 1 0 1 2 2 2 2 2 2 1 0 2 ( ) ( ) ( 2 ) 2 L 3 x y dx x y dy y dy y dy + + − = − = =    ． L2 的方程为 x = 2 − y, 起始点对应的自变量值为 1，终点对应的自变量值为 0．由于 , 0 2 2 = − + =  dx dy x dx x dy L ， 故有 3 2 ( ) ( ) 2 0 1 2 2 2 2 2 2 + + − = − =   x y dx x y dy y dy L ，所以 3 4 ( ) ( ) 2 2 2 2 + + − = L x y dx x y dy ． 注 将对坐标的曲线积分直接化为对参数变量的定积分时应当注意： （1）当被积函数 PQ, 的形式较为简单，将积分曲线 L 的方程代入积分式计算定积分比较 容易时，可直接计算． （2）参变量的选取视积分曲线具体形式而定，积分下限与上限分别为积分路径的起点与 终点所对应的参数值，这与对弧长的曲线积分不同；当积分曲线分段光滑时，应分段积分， 并注意各自选择适宜的参数变量作为积分变量． 例 9 计算 , L ydx xdy +  如图 9－7 所示， L 是从点 A a ( ,0) − 沿上半圆周 2 2 2 x y a + = 到点 B a( ,0) 的一段弧． 分析 关于对坐标的曲线积分的计算，与对弧长的曲线积分 相似，也分三种，不同之处在于: 对坐标的曲线积分中的曲线为 图 9－7 有向的，因此化为定积分时，积分上、下限只与曲线的起点和终点有关，而与其大小无关． 解法 1 利用直角坐标计算．记 L1 为 2 2 2 x y a + = 上从点 C a (0, ) 到点 B a( ,0) 的一段劣 弧．则 2 2 2 2 a L a ydx a x dx a  − = − =   （定积分的几何意义）． 而 1 0 2 2 2 2 2 L L a 2 xdy xdy a y dy a  = = − = −    ， 所以 0 L ydx xdy + =  ． 解法 2 利用曲线的参数方程计算． L 的参数方程为: x a y a = = cos , sin   ，在起点 A a ( ,0) − 处参数值取  ，在终点 B a( ,0) 处参数值相应取 0，故  从  到 0．则 0 sin ( cos ) cos ( sin ) L ydx xdy a d a a d a  + = +       = 0 2 a d cos2 0    =  ． y o A a ( ,0) − B a( ,0) x