M=+=+-+-+. 例7求八分之一球面x2+y广+2=R(x≥0，y≥0，：≥0)的边界曲线的重心，设曲线的 密度p=1. 解设曲线在xOy,0,0Ox坐标平面内的弧段分别为L,、b2、,曲线的重心坐标为 (司)，则曲线的质量为M=∮b=引，击=3×2红。3.由对称性可得重心坐标 玉===，手=++个) =儿+0+小是 高晋提 做所未重心坐标为铅铅铝)】 例8计算x2+y2)达+(x2-y2,其中L是曲线 y=1-1-刘从对应于x=0时的点到x=2时的点的一段弧. 分析由于曲线L是分段光滑的，所以先分别计算在每段 图9-6 光滑曲线的对坐标的曲线积分。如图9一6，将积分分成两部分： ∫2++2-y2炒=x2+2h+2-+x2++x2-y. 解法1L的方程为y=x0≤x≤)，则有 ∫x2+y2+x2-y2=∫2x2d=号 L2的方程为y=2-x(1sxs2),则 ∫x2+y2+(6x2-y2 =∫x2+2-x体+x2-(2-]-1d =22-x=号 所以2+2+(2-少2=3 2 2 2 1 1 2 2 2 1 1 [ (1 ) ] 3 x x x x x M x dx x x = + = +  3 3 2 2 2 2 2 1 1 [(1 ) (1 ) ] 3 = + − + x x ． 例 7 求八分之一球面 2 2 2 2 x y z R x y z + + =    ( 0, 0, 0) 的边界曲线的重心，设曲线的 密度  =1． 解 设曲线在 xOy yOz zOx , , 坐标平面内的弧段分别为 L1 、 L2 、 L3 ，曲线的重心坐标为 ( x y z , , ) ，则曲线的质量为 1 1 2 3 2 3 3 3 L 4 2 L L L R R M ds ds   + + = = =  =   ．由对称性可得重心坐标 ( ) 1 2 3 1 2 3 1 1 L L L L L L x y z xds xds xds xds M M + + = = = = + +     ( ) 1 3 1 1 2 0 L L L xds xds xds M M = + + =    2 0 2 2 2 2 4 3 R Rxdx R R M M R x  = = = −  ． 故所求重心坐标为 444 , , 333 RRR        ． 例 8 计算  + + − L x y dx x y dy 2 2 2 2 ( ) ( ) ，其中 L 是曲线 y = 1− 1− x 从对应于 x = 0 时的点到 x = 2 时的点的一段弧． 分析 由于曲线 L 是分段光滑的，所以先分别计算在每段 光滑曲线的对坐标的曲线积分．如图 9－6，将积分分成两部分：  + + − L (x y )dx (x y )dy 2 2 2 2  = + + − 1 ( ) ( ) 2 2 2 2 L x y dx x y dy x y dx x y dy L ( ) ( ) 2 2 2 2 2 + + + −  ． 解法 1 L1 的方程为 y x = (0 1)  x ，则有 3 2 ( ) ( ) 2 1 0 2 2 2 2 2 1 + + − = =   x y dx x y dy x dx L ． L2 的方程为 y x = −2 (1 2)  x ，则 x y dx x y dy L ( ) ( ) 2 2 2 2 2 + + −  2 2 2 1 = + − [ (2 ) ] x x dx  2 2 2 1 + − −  − [ (2 ) ] ( 1) x x dx  2 2 1 2 2(2 ) 3 = − = x dx  ． 所以 3 4 ( ) ( ) 2 2 2 2 + + − = L x y dx x y dy ． y o 1 2 L1 L2 x 图9－6