得：=行n1一后1，从面「的参数方程为 x=后acos,y=是n1-6cos,:=及n1-5os10s1s2). 则=o+Dor+E +罗++常罗a 所以手nr达=女a=号co=子d 解法2利用对称性 由于积分曲线方程中的变量x,上，：具有轮换对称性，即三个变量轮换位置，方程不变， 故有 重xd=重yd=重d, 因此 手r=心+y+s=.d-写2a=号d. 注这里通过巧妙地利用轮换对称性，使计算大大简化，一般来讲，对于曲线的方程， 若其坐标的位置完全平等（即将x,八：轮换位置，曲线方程的形式不变），则可以考虑轮换 对称性.另外，对曲线积分，若被积函数出现积分曲线方程的形式，则将积分曲线方程代入 被积函数中通常可以将积分化简。 例6设一段曲线y=nx(0<,xx)上任一点处的线密度的大小等于该点横坐标 的平方，求其质量。 分析首先求出线密度px,),然后再利用公式M=Pxy)达即可 解依题意曲线的线密度为p=x2,故所求质量为M=[xd,其中 L:y=lnx(0<≤x≤).则L的参数方程为 小 -V, 所以 得 sin cos 2 6 a a z t t = − − ，从而  的参数方程为 2 cos 3 x a t = ， sin cos 2 6 a a y t t = − ， sin cos 2 6 a a z t t = − − (0 2 )  t  ． 则 2 2 2 ds x t y t z t dt = + + [ ( )] [ ( )] [ ( )]    2 cos sin sin cos 2 2 2 sin ( ) ( ) 3 2 6 6 2 t t t t = + + + − = a t dt adt , 所以 2 2 2 2 2 3 2 3 0 0 2 2 2 cos cos 3 3 3 x ds a tadt a tdt a     = = =    ． 解法 2 利用对称性 由于积分曲线方程中的变量 x y z , , 具有轮换对称性，即三个变量轮换位置， 方程不变， 故有 2 x ds  2 y ds  = =  2 z ds  ， 因此 2 2 2 2 2 1 1 ( ) 3 3 x ds x y z ds a ds    = + + =    2 2 3 2 3 3 a =  =   a a ． 注 这里通过巧妙地利用轮换对称性，使计算大大简化，一般来讲，对于曲线的方程， 若其坐标的位置完全平等（即将 x y z , , 轮换位置，曲线方程的形式不变），则可以考虑轮换 对称性．另外，对曲线积分，若被积函数出现积分曲线方程的形式，则将积分曲线方程代入 被积函数中通常可以将积分化简． 例 6 设一段曲线 1 2 y x x x x =    ln (0 ) 上任一点处的线密度的大小等于该点横坐标 的平方，求其质量． 分析 首先求出线密度 ( , ) x y ，然后再利用公式 ( , ) L M x y ds =   即可． 解 依题意曲线的线密度为 2  = x ，故所求质量为 2 L M x ds =  ，其中 1 2 L y x x x x : ln (0 ) =    ．则 L 的参数方程为 ln x x y x  =   = 1 2 (0 )    x x x ， 故 2 2 2 1 1 1 1 1 dy ds dx dx x dx dx x x   = + = + = +     ， 所以