·1786· 工程科学学报，第38卷，第12期 定义航迹1：上模拟对象Q在惯性坐标系下的位 速u。>0,设计反馈控制律驱动飞行器跟踪期望航迹， 置为专。=y]',UPV位置点表示为专=y]T, 并保证跟踪误差x。y山。和u-u。渐近收敛于零. {F}坐标系下跟踪误差E=x。y]T定义为 以下给出基于可变增益的反步控制器设计步骤 E=Rife (7) 步骤1定义位置误差变量为 式中，。=专-专，R为坐标系{I}到坐标系{F}的转换 e=√x+y (14) 矩阵，对式(7)两边求导得 定义Lyapunov函数 e=R店。+R5。 (8) %=22 (15) 式中，R。=RS(山)，且 对式(15)求导，并将式(12)代入得 (9) 立=花x。+少y。=x.(u.cos。-u.）+y.".simW。 0 (16) 由式(16)单独设计模拟对象的线速度u.为 uw=v.C0sψ。+k1xe (17) 式中，k,>0,且UPV纵向速度由发动机单独控制.因 此，由式(17)可知，当误差x。y。和山。趋近于零时，模 拟对象的速度趋近于v。,可实现目标跟踪.进一步计 算航迹参数变化率为 = ncos.+kx。 (18) √x)2+(y) 将式(17)代入式(16)得 图1基于模拟对象的UPV直线航迹跟踪示意图 V=-kx+yasin (19) Fig.1 Sketch map of UPV straight-ine trajectory tracking based on 为了避免传统反步法控制器形式过于复杂的情况，将 a simulative object 式(19)转化为 基于模拟对象的跟踪方法，在设计曲率为零时可 立=-kx2+y. sin ψ。+ (20) ψ。 。 以满足直线跟踪要求叨，因此有少。=0.将式(9)代入 式中，少。=少。-α.进而设计虚拟控制量 式(8)得 a=-ciye (21) E=R(传-专). (10) 式中，增益参数c,>0.将式(21)代入式(20)得 式中，专=Rg'g,vB=。O]'为UPV在坐标系{B}下 立=-k-2+.可 sind (22) 的合速度，。=√+，R。为坐标系{B}到坐标系 sin吵. {}的转换矩阵：专。=R','p=u。0]T为模拟对象 式中，k2=c。中。 在坐标系{}下的速度，将其代入式(10)得 考虑3 limsine吵./他。=1，且对于。e（-T,π)满 E=RE(RaVa-Rvp)=R(v)Va-Vr (11) 足0<sin山.少.≤1条件成立，故变量k2>0条件成立. 式中，R(w)= cosy。-sint ,妙。=功-少 步骤2根据式(15)，定义Lyapunov函数 .sin。cos。 (23) 综上得基于模拟对象的UPV跟踪误差系统为 5=斯+分民 「t。=v.c0sψ。-un 式中，增益参数y>0.对式(23)求导并将式(22)代 (12) lye=vsin。 入得 定义 店=或+=-蛇-+吸（氏+号.） 少.=r-少r (13) (24) 2 控制器设计 对中。=ψ。-α两边求导，并由式(21)得 2.1基于可变增益的反步跟踪控制器 山。=少。+cj 控制目标：根据UPV水平面模型(1)、(2)与跟踪 将w。=山。+c少。与式(13)代入式(24)整理得 误差模型(12)，在存在外界干扰条件下，给定期望航 少。=r-中r工程科学学报，第 38 卷，第 12 期 定义航迹 lk 上模拟对象 Q 在惯性坐标系下的位 置为 ξc =［xc yc］T ，UPV 位置点表示为 ξ =［x y］T ， { F} 坐标系下跟踪误差 ε =［xe ye］T 定义为 ε = ＲT F ξe ． ( 7) 式中，ξe = ξ － ξc，ＲT F 为坐标系{ I} 到坐标系{ F} 的转换 矩阵，对式( 7) 两边求导得 ε · = Ｒ · T F ξe + ＲT F ξ · e ． ( 8) 式中，Ｒ · F = ＲF S( ψF ) ，且 S( ψF ) = 0 － ψ · F ψ · F [ ] 0 ． ( 9) 图 1 基于模拟对象的 UPV 直线航迹跟踪示意图 Fig． 1 Sketch map of UPV straight-line trajectory tracking based on a simulative object 基于模拟对象的跟踪方法，在设计曲率为零时可 以满足直线跟踪要求［17］，因此有 ψ · F = 0． 将式( 9) 代入 式( 8) 得 ε · = ＲT F ( ξ · － ξ · c ) ． ( 10) 式中，ξ · = ＲB vB，vB =［vn 0］T 为 UPV 在坐标系{ B} 下 的合速度，vn = u2 槡 + v 2 ，ＲB 为坐标系{ B} 到坐标系 { I} 的转换矩阵; ξ · c = ＲF vF，vF =［uw 0］T 为模拟对象 在坐标系{ F} 下的速度，将其代入式( 10) 得 ε · = ＲT F ( ＲB vB － ＲF vF ) = Ｒ( ψe ) vB － vF ． ( 11) 式中，Ｒ( ψe ) = cosψe － sinψe sinψe cosψ [ ] e ，ψe = ψ － ψF ． 综上得基于模拟对象的 UPV 跟踪误差系统为 x · e = vn cosψe － uw y · e = vn { sinψe ( 12) 定义 ψ · e = r － ψ · F ( 13) 2 控制器设计 2. 1 基于可变增益的反步跟踪控制器 控制目标: 根据 UPV 水平面模型( 1) 、( 2) 与跟踪 误差模型( 12) ，在存在外界干扰条件下，给定期望航 速 uc ＞ 0，设计反馈控制律驱动飞行器跟踪期望航迹， 并保证跟踪误差 xe、ye、ψe 和 u － uc 渐近收敛于零． 以下给出基于可变增益的反步控制器设计步骤． 步骤 1 定义位置误差变量为 e = x 2 e + y 2 槡 e ． ( 14) 定义 Lyapunov 函数 V1 = 1 2 e 2 ． ( 15) 对式( 15) 求导，并将式( 12) 代入得 V · 1 = x · e xe + y · e ye = xe ( vn cosψe － uw ) + ye vn sinψe ． ( 16) 由式( 16) 单独设计模拟对象的线速度 uw 为 uw = vn cosψe + k1 xe ． ( 17) 式中，k1 ＞ 0，且 UPV 纵向速度由发动机单独控制． 因 此，由式( 17) 可知，当误差 xe、ye 和 ψe 趋近于零时，模 拟对象的速度趋近于 vn，可实现目标跟踪． 进一步计 算航迹参数变化率为 s · = vn cosψe + k1 xe ( x' c ) 2 + ( y' c 槡 ) 2 ． ( 18) 将式( 17) 代入式( 16) 得 V · 1 = － k1 x 2 e + ye vn sinψe ． ( 19) 为了避免传统反步法控制器形式过于复杂的情况，将 式( 19) 转化为 V · 1 = － k1 x 2 e + ye vn ( sinψe ψe ψe + sinψe ψe α ) ． ( 20) 式中，ψe = ψe － α． 进而设计虚拟控制量 α = － c1 ye ． ( 21) 式中，增益参数 c1 ＞ 0． 将式( 21) 代入式( 20) 得 V · 1 = － k1 x 2 e － k2 y 2 e + vn sinψe ψe ψe ye ． ( 22) 式中，k2 = c1 vn sinψe ψe ． 考虑lim ψe→0 sinψe /ψe = 1，且对于 ψe ∈( － π，π) 满 足 0 ＜ sin ψe /ψe≤1 条件成立，故变量 k2 ＞ 0 条件成立． 步骤 2 根据式( 15) ，定义 Lyapunov 函数 V2 = V1 + 1 2 γ ψ2 e ． ( 23) 式中，增益参数 γ ＞ 0． 对式( 23) 求导并将式( 22) 代 入得 V · 2 = V · 1 + γ ψe ψ · e = － k1 x 2 e － k2 y 2 e + γ ψe ( ψ · e + vn γ sinψe ψe ye ) ． ( 24) 对 ψe = ψe － α 两边求导，并由式( 21) 得 ψ · e = ψ · e + c1 y · e ． 将ψ · e = ψ · e + c1 y · e 与式( 13) 代入式( 24) 整理得 ψ · e = r － ψ · F ·1786·