工程科学学报，第38卷，第12期：1784-1790,2016年12月 Chinese Journal of Engineering,Vol.38,No.12:1784-1790,December 2016 D0l:10.13374/j.issn2095-9389.2016.12.018:http://journals.ustb.edu.cn 无人软翼飞行器直线航迹跟踪鲁棒反步控制 张吴四，陈自力，蔚建斌，苏立军 中国人民解放军军械工程学院无人机工程系，石家庄050003 ☒通信作者，E-mail:zhanghao6681@sina.com 摘要为实现无人软翼飞行器的直线航迹跟踪控制，提出一种基于模拟对象的可变增益鲁棒反步控制方法.基于模拟对 象方法建立软翼飞行器的航迹跟踪误差模型，并设计了可变增益反步跟踪控制器，通过合理设计增益参数，消除了部分复杂 非线性项，避免了传统反步法中虚拟量高阶导数问题，简化了控制器形式，更有利于工程实现.根据Lyapunov理论设计的鲁 棒反馈补偿项，在保证稳定性的同时提高了系统的鲁棒性.将控制器应用于无人软翼飞行器平面直线航迹跟踪控制中，仿真 实验表明，所设计的控制器可以实现直线航迹的精确跟踪，且具有很好的鲁棒性 关键词无人飞行器：航迹：跟踪：鲁棒控制：反步 分类号TP273 Robust backstepping control for straight-line trajectory tracking of unmanned parafoil vehicles ZHANG Hao,CHEN Zi-i,WEI Jian-bin,SU Li-jun Department of Unmanned Vehicle Engineering,Ordnance Engineering College,Shijiazhuang 050003,China Corresponding author,E-mail:zhanghao6681@sina.com ABSTRACT In order to implement straight-line trajectory tracking control for unmanned parafoil vehicles (UPV),a variable-gain robust backstepping control method was proposed based on a simulation object.A variable-gain backstepping tracking controller was designed against the trajectory tracking error model,and proper design of gain parameters eliminated a part of complicated nonlinear terms and avoided higher derivatives in traditional backstepping methods so as to make the controller simpler and to be beneficial to en- gineering realization.The robust feedback compensation term designed according to the Lyapunov theory improved the system's robust- ness while ensuring its stability.In addition,the controller was applied to UPV planar straightline trajectory tracking control.The simulation experiment illustrates the good robustness of the proposed controller and the accurate tracking ability in straight-line trajecto- ries. KEY WORDS unmanned vehicles:trajectories;tracking:robust control:backstepping 无人软翼飞行器(unmanned parafoil vehicle,UPV), 其运动控制的研究在理论上和实际应用中都具有重要 是一种柔性翼悬挂滑翔飞行系统.与固定翼飞机相 意义回.UPV的运动控制主要包括轨迹跟踪控制、路 比，UPV具有高升阻比、载荷能力大、巡航时间长等优 径跟踪控制和航迹点跟踪控制，不同于轨迹跟踪要求 点，在军事与民用领域都具有广阔的应用前景，逐渐成 UPV跟踪以时间为参考的期望轨迹，路径跟踪与航迹 为无人飞行器领域的研究热点”. 点跟踪无时间跟踪要求，具有更平滑的跟踪轨迹和更 鉴于UPV优秀的飞行性能，未来将替代直升机， 高的控制效率，而其中航迹点跟踪只要求UPV达到指 在对地侦查、舰艇反潜等任务中发挥巨大作用，因此对 定位置的圆形空域内，完成航迹切换-.因此，对于 收稿日期：201602-21 基金项目：国家自然科学基金资助项目(51175508)：总装院校科技创新工程资助项目(12080007)
工程科学学报，第 38 卷，第 12 期: 1784--1790，2016 年 12 月 Chinese Journal of Engineering，Vol． 38，No． 12: 1784--1790，December 2016 DOI: 10． 13374 /j． issn2095--9389． 2016． 12． 018; http: / /journals． ustb． edu． cn 无人软翼飞行器直线航迹跟踪鲁棒反步控制 张 昊，陈自力，蔚建斌，苏立军 中国人民解放军军械工程学院无人机工程系，石家庄 050003 通信作者，E-mail: zhanghao6681@ sina． com 摘 要 为实现无人软翼飞行器的直线航迹跟踪控制，提出一种基于模拟对象的可变增益鲁棒反步控制方法． 基于模拟对 象方法建立软翼飞行器的航迹跟踪误差模型，并设计了可变增益反步跟踪控制器，通过合理设计增益参数，消除了部分复杂 非线性项，避免了传统反步法中虚拟量高阶导数问题，简化了控制器形式，更有利于工程实现． 根据 Lyapunov 理论设计的鲁 棒反馈补偿项，在保证稳定性的同时提高了系统的鲁棒性． 将控制器应用于无人软翼飞行器平面直线航迹跟踪控制中，仿真 实验表明，所设计的控制器可以实现直线航迹的精确跟踪，且具有很好的鲁棒性． 关键词 无人飞行器; 航迹; 跟踪; 鲁棒控制; 反步 分类号 TP273 Ｒobust backstepping control for straight-line trajectory tracking of unmanned parafoil vehicles ZHANG Hao ，CHEN Zi-li，WEI Jian-bin，SU Li-jun Department of Unmanned Vehicle Engineering，Ordnance Engineering College，Shijiazhuang 050003，China Corresponding author，E-mail: zhanghao6681@ sina． com ABSTＲACT In order to implement straight-line trajectory tracking control for unmanned parafoil vehicles ( UPV) ，a variable-gain robust backstepping control method was proposed based on a simulation object． A variable-gain backstepping tracking controller was designed against the trajectory tracking error model，and proper design of gain parameters eliminated a part of complicated nonlinear terms and avoided higher derivatives in traditional backstepping methods so as to make the controller simpler and to be beneficial to engineering realization． The robust feedback compensation term designed according to the Lyapunov theory improved the system’s robustness while ensuring its stability． In addition，the controller was applied to UPV planar straight-line trajectory tracking control． The simulation experiment illustrates the good robustness of the proposed controller and the accurate tracking ability in straight-line trajectories． KEY WOＲDS unmanned vehicles; trajectories; tracking; robust control; backstepping 收稿日期: 2016--02--21 基金项目: 国家自然科学基金资助项目( 51175508) ; 总装院校科技创新工程资助项目( 12080007) 无人软翼飞行器( unmanned parafoil vehicle，UPV) ， 是一种柔性翼悬挂滑翔飞行系统． 与固定翼飞机相 比，UPV 具有高升阻比、载荷能力大、巡航时间长等优 点，在军事与民用领域都具有广阔的应用前景，逐渐成 为无人飞行器领域的研究热点［1］． 鉴于 UPV 优秀的飞行性能，未来将替代直升机， 在对地侦查、舰艇反潜等任务中发挥巨大作用，因此对 其运动控制的研究在理论上和实际应用中都具有重要 意义［2］． UPV 的运动控制主要包括轨迹跟踪控制、路 径跟踪控制和航迹点跟踪控制，不同于轨迹跟踪要求 UPV 跟踪以时间为参考的期望轨迹，路径跟踪与航迹 点跟踪无时间跟踪要求，具有更平滑的跟踪轨迹和更 高的控制效率，而其中航迹点跟踪只要求 UPV 达到指 定位置的圆形空域内，完成航迹切换［2--3］． 因此，对于
张吴等：无人软翼飞行器直线航迹跟踪鲁棒反步控制 ·1785· UPV飞行速度慢且横侧向欠驱动布局的特点，航迹点 标系下的位置分量与偏航角，山"门T分别为体坐 跟踪更适合UPV系统 标系下的纵向速度、横向速度和偏航角速度 UPV航迹跟踪控制中，多数文献主要针对其线性 动力学方程可表示为 化模型进行设计.文献4]基于模型预测控制和递归 (muu=mztr-X.u-Xmulul +d.F 权重最小二乘参数辨识方法设计了UPV航迹跟踪控 mzi=-muur -Y,v-Ylelol +d,, 制器；文献5]基于线性化模型和Vp一PID控制方法 (2) mai (mu -mz)N,r Naarlrl +d,+F,, 设计了UPV航迹跟踪控制器：文献[6]提出基于航迹 mu =m-X;,mz =m -Y;,ma =m -N;. 点导航方法的UPV模糊PD航迹跟踪控制器，但控制 式中，m为UPV质量，m1、m2和m3分别表示翼伞附加 器受时变干扰影响较大，抗干扰能力弱.利用非线性 质量分量，X。Y和N。为气动力参数，F.为发动机 控制方法对航迹控制的研究较少.文献2]利用输入 推力，F,为尾沿偏转产生的横向控制力矩，d。为干扰 输出反馈线性化方法设计了UPV水平面航迹跟踪控 项在体坐标下的分量. 制器，并证明了系统的渐进稳定性：文献门-8]进一步 1.2航迹规划与切换方法 提出基于可变迎角的最优航迹跟踪控制策略，并进行 在侦查任务中，飞行器需遍历指定空域内所有航 相应的实验研究：文献⑨]结合横向轨迹误差法和视 迹点，因此为了尽量减小冗余航迹，采用以直线将航迹 线跟踪法，设计了基于数据扩充的翼伞自抗扰轨迹跟 点依次连接的方式定义UPV巡航航迹，即某一直线航 踪控制器，控制器具有较好的抗干扰能力. 迹4-1表示为由起点W-:到终点W.的连线，且当UPV 文献0]提出一种非线性期望航迹跟踪方法，针 飞行至以W。为圆心，R(最大可探测距离)为半径的圆 对小型无人机设计了自适应航向控制律，并验证了其 形空域时，航迹切换为起点W到终点W的下一期 方法的有效性：文献11一12]提出基于模拟对象的航 望航迹L,·采用这一航迹规划与切换方法实现对所有 迹导航方法，并已在移动机器人的跟踪控制中得到应 指定航迹点的跟踪，并在每段航迹内控制UPV跟踪收 用：文献3-14]将其应用于水下航行器的跟踪控制 敛到期望航迹 中，设计了反步跟踪控制器，具有较高的跟踪精度和较 假设某段航迹I,两端航迹点在惯性系下位置为 好的鲁棒性.本文以UPV横侧向模型为对象，研究含 W=(xy）与W1=(x1'y+1）,则该段航迹方程可 外界干扰条件下的欠驱动UPV平面直线航迹跟踪控 表示为 制问题，将模拟对象方法扩展至UPV跟踪控制中，提 「x。(s)=xs+0, (3) 出一种基于模拟对象的可变增益反步跟踪控制方法 ly (s)=ys+yo 首先，基于Serret-Frenet坐标下的模拟对象跟踪方法， 式中，s∈R为航迹参数，x和y:定义为 推导运动误差方程：然后，设计可变增益反步跟踪控制 「x=dx/d=x1-xy (4) 器，通过合理设计控制器参数，消除控制量中的部分非 ly=dy./ds =y.-ye. 线性项，避免传统反步法中对虚拟控制量多次求导后 x。和y。为直线航迹在惯性坐标系中与各轴的截距，可 的复杂形式与奇异值问题；最后，采用Lyapunov理论 表示为 设计鲁棒补偿项，对跟踪误差进行补偿，保证闭环系统 [X0=x 的稳定性.将所提算法应用于UPV航迹跟踪控制中， (5) Lyo =Y 仿真结果验证了控制器的有效性. 1.3基于模拟对象的运动误差模型 1问题描述 不同于传统的基于航迹点的导航方法阿，基于 模拟对象方法的期望航迹由模拟对象连续运动生 1.1软翼飞行器横侧向运动模型 成，跟踪误差连续，不存在切换点处不易跟踪的问 UPV采用滑翔翼伞结构，由发动机推力保持稳 题，相比于传统导航方法可以减小冗余航迹，提高跟 定期望航速“进行定高飞行，由于翼伞在水平面不 踪有效性 具有直接控制输入，只能通过控制两侧尾沿下偏控 基于模拟对象的UPV直线航迹跟踪示意图如图1 制航向，因此属于欠驱动系统。其横侧向运动学方程 所示，{}、{B}和{F}分别表示惯性坐标系、UPV体坐 可表示为) 标系和Serret--Frenet坐标系，L为期望航迹，P表示 UPV的质点，Q为航迹上的模拟对象.将{}沿X,轴 旋转角度山。，再将原点0平移至与Q点重合，所得坐 标系即为以Q为原点的{F}坐标系，其中中表示为 式中，系统状态量x ]分别为UPV在惯性坐 r=arctan (y(s)/xe (s)). (6)
张 昊等: 无人软翼飞行器直线航迹跟踪鲁棒反步控制 UPV 飞行速度慢且横侧向欠驱动布局的特点，航迹点 跟踪更适合 UPV 系统． UPV 航迹跟踪控制中，多数文献主要针对其线性 化模型进行设计． 文献［4］基于模型预测控制和递归 权重最小二乘参数辨识方法设计了 UPV 航迹跟踪控 制器; 文献［5］基于线性化模型和 Vap--PID 控制方法 设计了 UPV 航迹跟踪控制器; 文献［6］提出基于航迹 点导航方法的 UPV 模糊 PID 航迹跟踪控制器，但控制 器受时变干扰影响较大，抗干扰能力弱． 利用非线性 控制方法对航迹控制的研究较少． 文献［2］利用输入 输出反馈线性化方法设计了 UPV 水平面航迹跟踪控 制器，并证明了系统的渐进稳定性; 文献［7--8］进一步 提出基于可变迎角的最优航迹跟踪控制策略，并进行 相应的实验研究; 文献［9］结合横向轨迹误差法和视 线跟踪法，设计了基于数据扩充的翼伞自抗扰轨迹跟 踪控制器，控制器具有较好的抗干扰能力． 文献［10］提出一种非线性期望航迹跟踪方法，针 对小型无人机设计了自适应航向控制律，并验证了其 方法的有效性; 文献［11--12］提出基于模拟对象的航 迹导航方法，并已在移动机器人的跟踪控制中得到应 用; 文献［13--14］将其应用于水下航行器的跟踪控制 中，设计了反步跟踪控制器，具有较高的跟踪精度和较 好的鲁棒性． 本文以 UPV 横侧向模型为对象，研究含 外界干扰条件下的欠驱动 UPV 平面直线航迹跟踪控 制问题，将模拟对象方法扩展至 UPV 跟踪控制中，提 出一种基于模拟对象的可变增益反步跟踪控制方法． 首先，基于 Serret--Frenet 坐标下的模拟对象跟踪方法， 推导运动误差方程; 然后，设计可变增益反步跟踪控制 器，通过合理设计控制器参数，消除控制量中的部分非 线性项，避免传统反步法中对虚拟控制量多次求导后 的复杂形式与奇异值问题; 最后，采用 Lyapunov 理论 设计鲁棒补偿项，对跟踪误差进行补偿，保证闭环系统 的稳定性． 将所提算法应用于 UPV 航迹跟踪控制中， 仿真结果验证了控制器的有效性． 1 问题描述 1. 1 软翼飞行器横侧向运动模型 UPV 采用滑翔翼伞结构，由发动机推力保 持 稳 定期望航速 uc进行定高飞行，由于翼伞在水平面不 具有直接控制输入，只能通过控制两侧尾沿下偏控 制航向，因此属于欠驱动系统． 其横侧向运动学方程 可表示为［3］ x · y · ψ · = cosψ － sinψ 0 sinψ cosψ 0 0 0 1 u v r = J( ψ) u v r ． ( 1) 式中，系统状态量［x y ψ］T 分别为 UPV 在惯性坐 标系下的位置分量与偏航角，［u v r］T 分别为体坐 标系下的纵向速度、横向速度和偏航角速度． 动力学方程可表示为 m11 u · = m22 vr － Xu u － Xu | u | u | u | + du + Fu， m22 v · = － m11 ur － Yvv － Yv|v|v|v| + dv， m33 r · = ( m11 － m22 ) － Nr r － Nr|r| r| r| + dr + Fr， m11 = m － Xu · ，m22 = m － Yv · ，m33 = m － Nr · ． ( 2) 式中，m 为 UPV 质量，m11、m22和 m33分别表示翼伞附加 质量分量，X(·) 、Y(·) 和 N(·) 为气动力参数，Fu 为发动机 推力，Fr 为尾沿偏转产生的横向控制力矩，d(·) 为干扰 项在体坐标下的分量． 1. 2 航迹规划与切换方法 在侦查任务中，飞行器需遍历指定空域内所有航 迹点，因此为了尽量减小冗余航迹，采用以直线将航迹 点依次连接的方式定义 UPV 巡航航迹，即某一直线航 迹 lk － 1表示为由起点 Wk － 1到终点 Wk 的连线，且当 UPV 飞行至以 Wk 为圆心，Ｒ( 最大可探测距离) 为半径的圆 形空域时，航迹切换为起点 Wk 到终点 Wk + 1 的下一期 望航迹 lk ． 采用这一航迹规划与切换方法实现对所有 指定航迹点的跟踪，并在每段航迹内控制 UPV 跟踪收 敛到期望航迹． 假设某段航迹 lk 两端航迹点在惯性系下位置为 Wk = ( xk，yk ) 与 Wk + 1 = ( xk + 1，yk + 1 ) ，则该段航迹方程可 表示为 xc ( s) = x' c s + x0， yc ( s) = y' c s + y0 { ． ( 3) 式中，s∈Ｒ 为航迹参数，x' c 和 y' c 定义为 x' c = dxc /ds = xk + 1 － xk， y' c = dyc /ds = yk + 1 － yk { ． ( 4) x0 和 y0 为直线航迹在惯性坐标系中与各轴的截距，可 表示为 x0 = xk， y0 = yk { ． ( 5) 1. 3 基于模拟对象的运动误差模型 不同于传统的基于航迹点的导航方法［15］，基于 模拟对象方法的期望航迹由模拟对象连续运动生 成，跟踪误 差 连 续，不 存 在 切 换 点 处 不 易 跟 踪 的 问 题，相比于传统导航方法可以减小冗余航迹，提高跟 踪有效性［16］． 基于模拟对象的 UPV 直线航迹跟踪示意图如图 1 所示，{ I} 、{ B} 和{ F} 分别表示惯性坐标系、UPV 体坐 标系和 Serret--Frenet 坐 标 系，lk 为 期 望 航 迹，P 表 示 UPV 的质点，Q 为航迹上的模拟对象． 将{ I} 沿 XI 轴 旋转角度 ψF，再将原点 O 平移至与 Q 点重合，所得坐 标系即为以 Q 为原点的{ F} 坐标系，其中 ψF 表示为 ψF = arctan( y' c ( s) / x' c ( s) ) ． ( 6) ·1785·
·1786· 工程科学学报，第38卷，第12期 定义航迹1：上模拟对象Q在惯性坐标系下的位 速u。>0,设计反馈控制律驱动飞行器跟踪期望航迹， 置为专。=y]',UPV位置点表示为专=y]T, 并保证跟踪误差x。y山。和u-u。渐近收敛于零. {F}坐标系下跟踪误差E=x。y]T定义为 以下给出基于可变增益的反步控制器设计步骤 E=Rife (7) 步骤1定义位置误差变量为 式中，。=专-专，R为坐标系{I}到坐标系{F}的转换 e=√x+y (14) 矩阵，对式(7)两边求导得 定义Lyapunov函数 e=R店。+R5。 (8) %=22 (15) 式中，R。=RS(山)，且 对式(15)求导，并将式(12)代入得 (9) 立=花x。+少y。=x.(u.cos。-u.）+y.".simW。 0 (16) 由式(16)单独设计模拟对象的线速度u.为 uw=v.C0sψ。+k1xe (17) 式中，k,>0,且UPV纵向速度由发动机单独控制.因 此，由式(17)可知，当误差x。y。和山。趋近于零时，模 拟对象的速度趋近于v。,可实现目标跟踪.进一步计 算航迹参数变化率为 = ncos.+kx。 (18) √x)2+(y) 将式(17)代入式(16)得 图1基于模拟对象的UPV直线航迹跟踪示意图 V=-kx+yasin (19) Fig.1 Sketch map of UPV straight-ine trajectory tracking based on 为了避免传统反步法控制器形式过于复杂的情况，将 a simulative object 式(19)转化为 基于模拟对象的跟踪方法，在设计曲率为零时可 立=-kx2+y. sin ψ。+ (20) ψ。 。 以满足直线跟踪要求叨，因此有少。=0.将式(9)代入 式中，少。=少。-α.进而设计虚拟控制量 式(8)得 a=-ciye (21) E=R(传-专). (10) 式中，增益参数c,>0.将式(21)代入式(20)得 式中，专=Rg'g,vB=。O]'为UPV在坐标系{B}下 立=-k-2+.可 sind (22) 的合速度，。=√+，R。为坐标系{B}到坐标系 sin吵. {}的转换矩阵：专。=R','p=u。0]T为模拟对象 式中，k2=c。中。 在坐标系{}下的速度，将其代入式(10)得 考虑3 limsine吵./他。=1，且对于。e（-T,π)满 E=RE(RaVa-Rvp)=R(v)Va-Vr (11) 足00条件成立. 式中，R(w)= cosy。-sint ,妙。=功-少 步骤2根据式(15)，定义Lyapunov函数 .sin。cos。 (23) 综上得基于模拟对象的UPV跟踪误差系统为 5=斯+分民 「t。=v.c0sψ。-un 式中，增益参数y>0.对式(23)求导并将式(22)代 (12) lye=vsin。 入得 定义 店=或+=-蛇-+吸（氏+号.） 少.=r-少r (13) (24) 2 控制器设计 对中。=ψ。-α两边求导，并由式(21)得 2.1基于可变增益的反步跟踪控制器 山。=少。+cj 控制目标：根据UPV水平面模型(1)、(2)与跟踪 将w。=山。+c少。与式(13)代入式(24)整理得 误差模型(12)，在存在外界干扰条件下，给定期望航 少。=r-中r
工程科学学报，第 38 卷，第 12 期 定义航迹 lk 上模拟对象 Q 在惯性坐标系下的位 置为 ξc =［xc yc］T ，UPV 位置点表示为 ξ =［x y］T ， { F} 坐标系下跟踪误差 ε =［xe ye］T 定义为 ε = ＲT F ξe ． ( 7) 式中，ξe = ξ － ξc，ＲT F 为坐标系{ I} 到坐标系{ F} 的转换 矩阵，对式( 7) 两边求导得 ε · = Ｒ · T F ξe + ＲT F ξ · e ． ( 8) 式中，Ｒ · F = ＲF S( ψF ) ，且 S( ψF ) = 0 － ψ · F ψ · F [ ] 0 ． ( 9) 图 1 基于模拟对象的 UPV 直线航迹跟踪示意图 Fig． 1 Sketch map of UPV straight-line trajectory tracking based on a simulative object 基于模拟对象的跟踪方法，在设计曲率为零时可 以满足直线跟踪要求［17］，因此有 ψ · F = 0． 将式( 9) 代入 式( 8) 得 ε · = ＲT F ( ξ · － ξ · c ) ． ( 10) 式中，ξ · = ＲB vB，vB =［vn 0］T 为 UPV 在坐标系{ B} 下 的合速度，vn = u2 槡 + v 2 ，ＲB 为坐标系{ B} 到坐标系 { I} 的转换矩阵; ξ · c = ＲF vF，vF =［uw 0］T 为模拟对象 在坐标系{ F} 下的速度，将其代入式( 10) 得 ε · = ＲT F ( ＲB vB － ＲF vF ) = Ｒ( ψe ) vB － vF ． ( 11) 式中，Ｒ( ψe ) = cosψe － sinψe sinψe cosψ [ ] e ，ψe = ψ － ψF ． 综上得基于模拟对象的 UPV 跟踪误差系统为 x · e = vn cosψe － uw y · e = vn { sinψe ( 12) 定义 ψ · e = r － ψ · F ( 13) 2 控制器设计 2. 1 基于可变增益的反步跟踪控制器 控制目标: 根据 UPV 水平面模型( 1) 、( 2) 与跟踪 误差模型( 12) ，在存在外界干扰条件下，给定期望航 速 uc ＞ 0，设计反馈控制律驱动飞行器跟踪期望航迹， 并保证跟踪误差 xe、ye、ψe 和 u － uc 渐近收敛于零． 以下给出基于可变增益的反步控制器设计步骤． 步骤 1 定义位置误差变量为 e = x 2 e + y 2 槡 e ． ( 14) 定义 Lyapunov 函数 V1 = 1 2 e 2 ． ( 15) 对式( 15) 求导，并将式( 12) 代入得 V · 1 = x · e xe + y · e ye = xe ( vn cosψe － uw ) + ye vn sinψe ． ( 16) 由式( 16) 单独设计模拟对象的线速度 uw 为 uw = vn cosψe + k1 xe ． ( 17) 式中，k1 ＞ 0，且 UPV 纵向速度由发动机单独控制． 因 此，由式( 17) 可知，当误差 xe、ye 和 ψe 趋近于零时，模 拟对象的速度趋近于 vn，可实现目标跟踪． 进一步计 算航迹参数变化率为 s · = vn cosψe + k1 xe ( x' c ) 2 + ( y' c 槡 ) 2 ． ( 18) 将式( 17) 代入式( 16) 得 V · 1 = － k1 x 2 e + ye vn sinψe ． ( 19) 为了避免传统反步法控制器形式过于复杂的情况，将 式( 19) 转化为 V · 1 = － k1 x 2 e + ye vn ( sinψe ψe ψe + sinψe ψe α ) ． ( 20) 式中，ψe = ψe － α． 进而设计虚拟控制量 α = － c1 ye ． ( 21) 式中，增益参数 c1 ＞ 0． 将式( 21) 代入式( 20) 得 V · 1 = － k1 x 2 e － k2 y 2 e + vn sinψe ψe ψe ye ． ( 22) 式中，k2 = c1 vn sinψe ψe ． 考虑lim ψe→0 sinψe /ψe = 1，且对于 ψe ∈( － π，π) 满 足 0 ＜ sin ψe /ψe≤1 条件成立，故变量 k2 ＞ 0 条件成立． 步骤 2 根据式( 15) ，定义 Lyapunov 函数 V2 = V1 + 1 2 γ ψ2 e ． ( 23) 式中，增益参数 γ ＞ 0． 对式( 23) 求导并将式( 22) 代 入得 V · 2 = V · 1 + γ ψe ψ · e = － k1 x 2 e － k2 y 2 e + γ ψe ( ψ · e + vn γ sinψe ψe ye ) ． ( 24) 对 ψe = ψe － α 两边求导，并由式( 21) 得 ψ · e = ψ · e + c1 y · e ． 将ψ · e = ψ · e + c1 y · e 与式( 13) 代入式( 24) 整理得 ψ · e = r － ψ · F ·1786·
张吴等：无人软翼飞行器直线航迹跟踪鲁棒反步控制 ·1787· 店=--2+y.(r+ei.+5n 式中， ye y。 [f.=mztr-X.u-Xulul +d., (25) (mu -mz)-N,r-N,mrlrl +d,. 对式(25)进行简化，令 其中，k。kk,和k为控制器参数，「为鲁棒补偿项. 2=.+. 控制器中增加了积分项以提高系统在外界干扰条件下 将误差模型式(12)中的氵.代入式(25)得 的鲁棒性.将式(34)代入UPV动力学模型式(2)可得 -6+y吸+6我) 误差系统 「u.=-k.u.-kme1, (26) (35) r=-k,re -kne2-reo 进一步根据少。=中。-α和式(21)整理式(26)得 式中，u。=u-“e V.=-ky+ 定义81=u。,82=r,则有81=i,2=i,式(35) 可表示为 [81=-ke1-k, (36) y。 82=-k,82-kn82-To -62+项r+6.低-6)+号l 进一步定义 E=81e2]T,e=[E182]T,E=[eE]T, 则式(36)可表示为 E=AE +BU. (37) (27) 式中， 式中，c1与y均为设计参数.不妨取y=1/c,并将其 代入式(27)，消去部分复杂非线性项，得到 -+r成+nw】 足小--小 (28) K1=diag{-ka’-kn},K。=diag{-k,-k,}. 此时如果设计偏航角速度虚拟控制量为 由上述设计步骤可见，本文对传统反步控制方法 进行了改进，通过合理设计增益参数，消除了控制器中 ra=-c中。-c1.4 (29) 部分复杂非线性项，在保证系统的稳定性和跟踪精度 可以保证 的同时，简化了控制器形式，更有利于工程实现，设计 立=-k-cy≤0. (30) 的反馈补偿项能够提高系统的鲁棒性. 但由虚拟控制量式(29)可以看出，控制量形式较为复 2.2鲁棒稳定性分析 杂，不利于后续控制器设计，因此本文基于可变增益的 定理考虑UPV横侧向模型式(1)、式(2)和运 思想，将虚拟控制量重新定义为 动误差模型式(12)，及期望分段直线航迹式(3)，设计 ra=-C2ψ。 (31) 控制器式(34)，鲁棒补偿项式(41)，则闭环系统稳定， 将上式代入式(28)可得 且系统误差变量一致最终有界，并按指数收敛到原点 立.=-k2-k:+y.c (32) 的一个充分小的邻域内. 式中， 证明：定义Lyapunov函数 -告装) 片=g+EpE (38) re=r-ra. 式中，正定对称阵P为线性Lyapunov方程的解. 通过设计控制器参数c1与c2,使得c2>c,"。,从而k,> A'P+PA=-0, (39) 0条件成立.m为速度上界，体现了可变增益思想 进一步可得 -61 2=-kx2-k2y2-k+y中r(33) 式中，对称阵P:=diag{paPa},i=1,2,若选取P= 综上所述，由UPV动力学模型式(2)可推导航迹 KP2,可得 跟踪控制器为 r001 「F.=mu（-k.u。-kue1+ie）-f, (34) 0=02KP F,=ma（-k,re-kn2+ie-rn）-f 对式(38)求导并将式(33)代入得
张 昊等: 无人软翼飞行器直线航迹跟踪鲁棒反步控制 V · 2 = － k1 x 2 e － k2 y 2 e + γ ψe ( r + c1 y · e + vn γ sinψe ψe ye ) ( 25) 对式( 25) 进行简化，令 V · 2 = V · xe + V · ye，ψe ， 将误差模型式( 12) 中的 y · e 代入式( 25) 得 V · ye，ψe = － k2 y 2 e + γ ψe ( r + c1 vn sinψe + vn γ sinψe ψe ye ) ． ( 26) 进一步根据 ψe = ψe － α 和式( 21) 整理式( 26) 得 V · ye，ψe = － k2 y 2 e + γ ψe [ r + c1 vn sinψe ψe ( ψe + c1 ye － c1 ye ) + vn γ sinψe ψe ye ] = － k2 y 2 e + γ ψe [ r + c1 vn sinψe ψe ( ψe－ α1 － c1 ye ) + vn γ sinψe ψe ye ] = － k2 y 2 e + γ ψe [ r + c1 vn sinψe ψe ( ψe － c1 ye ) + vn γ sinψe ψe ye ] = － k2 y 2 e + γ ψe [ r + c1 vn sinψe ψe ψe ( + 1 γ － c ) 2 1 vn sinψe ψe ye ] ． ( 27) 式中，c1 与 γ 均为设计参数． 不妨取 γ = 1 /c 2 1，并将其 代入式( 27) ，消去部分复杂非线性项，得到 V · ye，ψe = － k2 y 2 e + γ ψe ( r + c1 vn sinψe ψe ψe ) ． ( 28) 此时如果设计偏航角速度虚拟控制量为 rd = － c2ψe － c1 vn sinψe ψe ψe ． ( 29) 可以保证 V · ye，ψe = － k2 y 2 e － c2γ ψ2 e≤0． ( 30) 但由虚拟控制量式( 29) 可以看出，控制量形式较为复 杂，不利于后续控制器设计，因此本文基于可变增益的 思想，将虚拟控制量重新定义为 rd = － c2ψe ． ( 31) 将上式代入式( 28) 可得 V · ye，ψe = － k2 y 2 e － k3ψ2 e + γ ψe re ． ( 32) 式中， k3 = c2γ ( 1 － c1 vn c2 sinψe ψ ) e ， re = r － rd ． 通过设计控制器参数 c1 与 c2，使得 c2 ＞ c1 vm，从而 k3 ＞ 0 条件成立． vm 为速度上界，体现了可变增益思想． 进一步可得 V · 2 = － k1 x 2 e － k2 y 2 e － k3ψ2 e + γ ψe re ． ( 33) 综上所述，由 UPV 动力学模型式( 2) 可推导航迹 跟踪控制器为 Fu = m11 ( － ku ue － kuiε1 + u · c ) － fu， Fr = m33 ( － kr re － kriε2 + r · c － rco ) － fr { ． ( 34) 式中， fu = m22 vr － Xu u － Xu | u | u | u | + du， fr = ( m11 － m22 ) － Nr r － Nr|r| r| r| + dr { ． 其中，ku、kui、kr 和 kri为控制器参数，rco为鲁棒补偿项． 控制器中增加了积分项以提高系统在外界干扰条件下 的鲁棒性． 将式( 34) 代入 UPV 动力学模型式( 2) 可得 误差系统 u · e = － ku ue － kuiε1， r · e = － kr re － kriε2 － rco { ． ( 35) 式中，ue = u － uc ． 定义 ε · 1 = ue，ε · 2 = re，则有 ε ·· 1 = u · e，ε ·· 2 = r · e，式( 35) 可表示为 ε ·· 1 = － kuε · 1 － kuiε1， ε ·· 2 = － krε · 2 － kriε2 － rco { ． ( 36) 进一步定义 ε =［ε1 ε2］T ，ε · =［ε · 1 ε · 2］T ，E =［ε T ε ·T ］T ， 则式( 36) 可表示为 E · = AE + BU． ( 37) 式中， A = 0 I2 × 2 [ ] － KI2 × 2 － KP2 × 2 ，B = 0 [ ] I2 × 2 ，U = 0 [ ] － rco ， KI = diag{ － kui，－ kri} ，Kp = diag{ － ku，－ kr } ． 由上述设计步骤可见，本文对传统反步控制方法 进行了改进，通过合理设计增益参数，消除了控制器中 部分复杂非线性项，在保证系统的稳定性和跟踪精度 的同时，简化了控制器形式，更有利于工程实现，设计 的反馈补偿项能够提高系统的鲁棒性． 2. 2 鲁棒稳定性分析 定理 考虑 UPV 横侧向模型式( 1) 、式( 2) 和运 动误差模型式( 12) ，及期望分段直线航迹式( 3) ，设计 控制器式( 34) ，鲁棒补偿项式( 41) ，则闭环系统稳定， 且系统误差变量一致最终有界，并按指数收敛到原点 的一个充分小的邻域内． 证明: 定义 Lyapunov 函数 V3 = V2 + 1 2 ET PE． ( 38) 式中，正定对称阵 P 为线性 Lyapunov 方程的解． AT P + PA = － Q， ( 39) P = P1 0 [ ] 0 P2 ． 式中，对称阵Pi = diag { pi1，pi2 } ，i = 1，2，若选取 P1 = KIP2，可得 Q = 0 0 [ ] 0 2 KI P2 ． 对式( 38) 求导并将式( 33) 代入得 ·1787·
·1788· 工程科学学报，第38卷，第12期 --kk-E'QE+y.+EPWU- 表1UPV主要结构参数 Table 1 Main specification of UPV --2-6e-QE+y4.- 展长， 弦长， 翼伞面积， 展弦比， 质量， b/m c/m S./m2 AR m/kg (40) 10.9 2.8 30 3.9 96.3 设计鲁棒补偿项 s必 (41) 门，xg 将式(41)代入式(40)得 IF FF 航迹切换 反步跟踪 控制器 UPV模型 =-42-42-k-EQE≤0.(42) 期望航迹 切换点 外界干扰d 当且仅当x。y。。E]T=0时，=0，由La- W 模拟对象 运动航迹 Salle不变原理可知，闭环系统误差变量可按指数收敛 预设航迹(…l,…） 到原点的一个充分小的邻域内阅.证毕 图2UPV控制系统框图 根据UPV动力学模型式(2)与虚拟控制量表达式 Fig.2 Block diagram of the UPV control system (21)和(31)，替换控制器式(34)中过渡变量u。r。a 在MATLAB./Simulink环境中搭建航迹跟踪控制 和「。，则系统动力学等价控制器可描述为 系统，期望纵向速度“。=10，初始状态 「u=ae-k(u-ue）-ke1, yuv业]T=[80010000T0]T, 7=-ny。-n2h。-73r-kn62-c192".sing. 控制器参数k,=0.05,k。=0.5,k=0.1,c1=0.2,y= (43) 1/c=25,c,=2,k=20,k=10. 式中， n=6(侵+6+ 取外界干扰项d为d+Kd=T&.式中e为高斯 白噪声，设计干扰项的时间常数矩阵K=diag{5,5, =+ck,+ci, 5},干扰项的增益系数矩阵T=diag{20,l0,10}. 根据飞行器在开阔空域的巡航要求，设计期望航 3=c2+k 迹点为（单位：m):W,=(800,50),W,=(400,50), 2.3仿真实验分析 W3=(200,350),W.=(600,650),W,=(1000,350), 以自行设计的试验型无人软翼飞行器为研究对象， W。=(900,250),W7=(650,500),W。=(550,430), 建立对象动力学模型，主要结构参数如表1所示，采用文 W,=(750,210),W。=(600,100),W1=(500,230). 献B]中翼伞气动参数，采用本文所提方法设计控制器进 为验证所设计控制器性能，在上述条件下，将其与 行定高平面直线航迹跟踪仿真实验，以验证所提算法的 基于航迹点方法的PD控制器进行对比，仿真结果如 有效性 图3~图7所示.由图3航迹跟踪曲线和图4跟踪误 如前文所述，UPV直线航迹跟踪控制系统主要包 差曲线可以看出：基于航迹点的传统PD方法参数不 括航迹规划、航迹切换、UPV模型以及反步跟踪控制 易调节，在定工况或工作点不变（直线段跟踪）时可以 器等四个部分，控制系统框图如图2所示. 满足控制指标要求，但在航迹切换点处以及受到外界 700r 550r (a) 一预设航迹点 )一o一预设航迹点 600 ,航迹点PID 航迹点PID 可变增益反步 可变增益反步 500 500 400 450 300 W.c 200 400 100 350 400 600 800 1000 550 600 650 700 X/m 图3航迹跟踪性能曲线.()整条航迹跟踪性能：(b)航迹点W,和Wg跟踪性能 Fig.3 Trajectory tracking performance:(a)tracking performance of the whole path:(b)tracking performance of W and Ws
工程科学学报，第 38 卷，第 12 期 V · 3 = － k1 x 2 e － k2 y 2 e － k3ψ2 e － 1 2 ET QE + γ ψe re + ET PBU = － k1 x 2 e － k2 y 2 e － k3ψ2 e － 1 2 ET QE + γ ψe re － γco re rco ． ( 40) 设计鲁棒补偿项 rco = γ ψe γco ． ( 41) 将式( 41) 代入式( 40) 得 V · 3 = － k1 x 2 e － k2 y 2 e － k3ψ2 e － 1 2 ET QE≤0． ( 42) 当且仅当［xe ye ψe E］T = 0 时，V · 3 = 0，由 LaSalle 不变原理可知，闭环系统误差变量可按指数收敛 到原点的一个充分小的邻域内［18］． 证毕． 根据 UPV 动力学模型式( 2) 与虚拟控制量表达式 ( 21) 和( 31) ，替换控制器式( 34) 中过渡变量 ue、re、rd 和 rco，则系统动力学等价控制器可描述为 u · = u · c － ku ( u － uc ) － kuiε1， r · = － η1 ye － η2ψe － η3 r － kriε2 － c1 c2 vn sinψe { ． ( 43) 式中， η1 = c1 ( γ γco + c2 kr + c ) 2 2 ， η2 = γ γco + c2 kr + c 2 2， η3 = c2 + kr ． 图 3 航迹跟踪性能曲线． ( a) 整条航迹跟踪性能; ( b) 航迹点 W7 和 W8 跟踪性能 Fig． 3 Trajectory tracking performance: ( a) tracking performance of the whole path; ( b) tracking performance of W7 and W8 2. 3 仿真实验分析 以自行设计的试验型无人软翼飞行器为研究对象， 建立对象动力学模型，主要结构参数如表 1 所示，采用文 献［3］中翼伞气动参数，采用本文所提方法设计控制器进 行定高平面直线航迹跟踪仿真实验，以验证所提算法的 有效性． 如前文所述，UPV 直线航迹跟踪控制系统主要包 括航迹规划、航迹切换、UPV 模型以及反步跟踪控制 器等四个部分，控制系统框图如图 2 所示． 表 1 UPV 主要结构参数 Table 1 Main specification of UPV 展长， b /m 弦长， c/m 翼伞面积， Sp /m2 展弦比， AＲ 质量， m/kg 10. 9 2. 8 30 3. 9 96. 3 图 2 UPV 控制系统框图 Fig． 2 Block diagram of the UPV control system 在 MATLAB/Simulink 环境中搭建航迹跟踪控制 系 统，期 望 纵 向 速 度 uc = 10，初 始 状 态 ［x y u v ψ r］T = ［800 100 0 0 π 0］T ， 控制器参数 k1 = 0. 05，ku = 0. 5，kui = 0. 1，c1 = 0. 2，γ = 1 /c 2 1 = 25，c2 = 2，kr = 20，kri = 10． 取外界干扰项 d(·) 为 d · + Kd = Tε． 式中 ε 为高斯 白噪声，设计干扰项的时间常数矩阵 K = diag { 5，5， 5} ，干扰项的增益系数矩阵 T = diag{ 20，10，10} ． 根据飞行器在开阔空域的巡航要求，设计期望航 迹点为( 单位: m) : W1 = ( 800，50 ) ，W2 = ( 400，50 ) ， W3 = ( 200，350) ，W4 = ( 600，650) ，W5 = ( 1000，350) ， W6 = ( 900，250) ，W7 = ( 650，500) ，W8 = ( 550，430) ， W9 = ( 750，210) ，W10 = ( 600，100) ，W11 = ( 500，230) ． 为验证所设计控制器性能，在上述条件下，将其与 基于航迹点方法的 PID 控制器进行对比，仿真结果如 图 3 ～ 图 7 所示． 由图 3 航迹跟踪曲线和图 4 跟踪误 差曲线可以看出: 基于航迹点的传统 PID 方法参数不 易调节，在定工况或工作点不变( 直线段跟踪) 时可以 满足控制指标要求，但在航迹切换点处以及受到外界 ·1788·
张吴等：无人软翼飞行器直线航迹跟踪鲁棒反步控制 ·1789· 20 500 一航迹点PID 可变增益反步 30 航迹点PD 可变增益反步 00 50 100 150 300 50100150 200250300 500 00 航迹点PID 一可变增益反步 航迹点PID 可变增益反步 -500 50 100 150 200 250 300 50 100 150 200 250 t/s 图7跟踪控制输入曲线 图4航迹跟踪误差曲线 Fig.4 Trajectory tracking errors Fig.7 Control inputs of path tracking 且能够实现航迹段间的平滑切换，减小系统冗余航程， 400 m航迹点PID 对干扰具有鲁棒性.由图5偏航角变化曲线和图6状 一可变增益反步 态变化曲线可以看出：PD方法在控制过程中容易产 300 生振荡和超调，导致系统失稳；而可变增益反步法在保 证控制精度的同时对系统状态具有更好的稳定性.图 7为控制输入曲线.从图中可以看出，与PD方法相 比，设计的控制器可以减小执行机构的振荡，控制输入 相对平稳，进一步验证了所提方法的有效性. 100 3 结论 (1)推导的基于模拟对象的跟踪误差方程，避免 100 150 200250 300 了基于路径点方法中出现误差导数复杂形式的情况， ts 简化了误差系统的形式. 图5偏航角响应曲线 Fig.5 Yaw angular response (2)基于可变反馈增益思想设计的航迹跟踪反步 控制器，消除了部分复杂非线性项，避免了传统反步法 6 中虚拟量高阶导数与奇异值问题，简化了控制器形式， 易于工程实现 一航迹点PID (3)采用Lyapunov理论设计的鲁棒反馈补偿项， 12 一可变增益反步 在保证系统稳定性的同时提高了系统的鲁棒性 50 100 150 200 250300 20 航迹点PD 参考文献 可变增益反步 人 人ky [1]Yakimenko O A,Bourakov E A,Hewgley C W,et al.Autono- mous aerial payload delivery system "Blizzard"//21st AlAA Aero- dynamic Decelerator Systems Technology Conference and Seminar 200 50 100150200250300 Dublin,2011:1 s 2]Toglia C.Vendittelli M.Lanari L.Path following for an autono- 图6系统状态量响应曲线 mous paraglider //49th IEEE Conference on Decision and Control. Fig.6 State response curves Atlanta,2010:4869 B]Gorman C M,Slegers N J Comparison and analysis of multi-body 干扰时，控制效果变差，无法实现准确跟踪：而本文提 parafoil models with varying degrees of freedom //21st AlAA Aero- dynamic Decelerator Systems Technology Conference and Seminar. 出的基于模拟对象的可变增益反步控制器能够克服 Dublin,2011:2615 PD控制器超调量大、调节时间长以及鲁棒性差的缺 4]Watanabe M.Ochi Y.Modeling and simulation of nonlinear dy- 点，高精度地跟踪期望航迹，实现稳态误差收敛于零， namics of a powered paraglider //AIAA Guidance,Narigation and
张 昊等: 无人软翼飞行器直线航迹跟踪鲁棒反步控制 图 4 航迹跟踪误差曲线 Fig． 4 Trajectory tracking errors 图 5 偏航角响应曲线 Fig． 5 Yaw angular response 图 6 系统状态量响应曲线 Fig． 6 State response curves 干扰时，控制效果变差，无法实现准确跟踪; 而本文提 出的基于模拟对象的可变增益反步控制器能够克服 PID 控制器超调量大、调节时间长以及鲁棒性差的缺 点，高精度地跟踪期望航迹，实现稳态误差收敛于零， 图 7 跟踪控制输入曲线 Fig． 7 Control inputs of path tracking 且能够实现航迹段间的平滑切换，减小系统冗余航程， 对干扰具有鲁棒性． 由图 5 偏航角变化曲线和图 6 状 态变化曲线可以看出: PID 方法在控制过程中容易产 生振荡和超调，导致系统失稳; 而可变增益反步法在保 证控制精度的同时对系统状态具有更好的稳定性． 图 7 为控制输入曲线． 从图中可以看出，与 PID 方法相 比，设计的控制器可以减小执行机构的振荡，控制输入 相对平稳，进一步验证了所提方法的有效性． 3 结论 ( 1) 推导的基于模拟对象的跟踪误差方程，避免 了基于路径点方法中出现误差导数复杂形式的情况， 简化了误差系统的形式． ( 2) 基于可变反馈增益思想设计的航迹跟踪反步 控制器，消除了部分复杂非线性项，避免了传统反步法 中虚拟量高阶导数与奇异值问题，简化了控制器形式， 易于工程实现． ( 3) 采用 Lyapunov 理论设计的鲁棒反馈补偿项， 在保证系统稳定性的同时提高了系统的鲁棒性． 参 考 文 献 ［1］ Yakimenko O A，Bourakov E A，Hewgley C W，et al． Autonomous aerial payload delivery system“Blizzard”/ /21st AIAA Aerodynamic Decelerator Systems Technology Conference and Seminar． Dublin，2011: 1 ［2］ Toglia C，Vendittelli M，Lanari L． Path following for an autonomous paraglider / /49th IEEE Conference on Decision and Control． Atlanta，2010: 4869 ［3］ Gorman C M，Slegers N J Comparison and analysis of multi-body parafoil models with varying degrees of freedom / /21st AIAA Aerodynamic Decelerator Systems Technology Conference and Seminar． Dublin，2011: 2615 ［4］ Watanabe M，Ochi Y． Modeling and simulation of nonlinear dynamics of a powered paraglider / /AIAA Guidance，Navigation and ·1789·
·1790· 工程科学学报，第38卷，第12期 Control Conference and Exhibit.Hawaii,2008:7418 unicycle vehicles via Lyapunov techniques.IEEE Rob Autom 5]Ochi Y,Kondo H,Watanabe M.Linear dynamics and PID flight Mag,1995,2(1):27 control of a powered paraglider //AlAA Guidance,Navigation and [13]Jia H M,Cheng X Q.Zhang L J,et al.Three-dimensional path Control Conference.Chicago,009:6318 tracking control for underactuated AUV based on adaptive back- 6Van der Kolf G.Flight Control System for an Autonomous Parafoil stepping.Control Decis,2012,27(5):652 [Dissertation].Stellenbosch:Stellenbosch University,2013 (贾鹤鸣，程相勤，张利军，等.基于自适应Backstepping的 ]Ward M,Gavrilovski A,Costello M.Flight test results for glide 欠驱动AUV三维航迹跟踪控制.控制与决策，2012,27 slope contro of parafoil canopies of various aspect ratios/1s (5):652) AlAA Aerodynamic Decelerator Systems Technology Conference and [14]Jia H M,Zhang L J,Cheng X Q,et al.Three-dimensional path Seminar.Dublin,2011:2620 following control for an underactuated UUV based on nonlinear it- 8]Ward M,Culpepper Costello M.Parametric study of powered erative sliding mode.Acta Autom Sin,2012,38(2):308 parafoil flight dynamics //AIAA Atmospheric Fight Mechanics Con- (贾鹤鸣，张利军，程相勤，等.基于非线性迭代滑膜的欠驱 ference.Minneapolis,2012:4726 动UV三维航迹跟踪控制.自动化学报，2012,38(2)： Gao HT.Research on Control and Autonomous Homing Trajectory 308) Planning of Parafoil System [Dissertation].Tianjin:Nankai Uni- [15]Slegers NJ,Yakimenko O A.Optimal control for terminal guid- versity,2014 ance of autonomous parafoils //20th AlAA Aerodynamic Decelera- (高海涛.翼伞系统自主归航航迹规划与控制研究[学位论 tor Systems Technology Conference and Seminar.Seattle,2009: 文].天津：南开大学，2014) 2958 [10]Miao CX,Fang JC,Sheng W.Adaptive tracking control meth- [16]Zhang L J,Jia H M,Qi X.NNFFC-adaptive output feedback od for nonlinear trajectory.J Beijing Univ Aeronaut Astronaut, trajectory tracking control for a surface ship at high speed.Ocean 2012,38(4):427 Eng,2011,38(13):1430 (缪存孝，房建成，盛蔚.一种非线性航迹自适应跟踪控制 [17]Zheng Z W.Huo W,Zhu B.Global path-following control for 方法.北京航空航天大学学报，2012,38(4)：427) nonholonomic model robots.Control Theory Appl,2012,29(6): [11]Micaelli A,Samson C.Trajectory Tracking for Unicycle-type and 741 Two-steering-tcheels Mobile Robots [Dissertation].France:IN- (郑泽伟，霍伟，褚兵.非完整移动机器人全局路径跟踪控 RA,1993 制.控制理论与应用，2012,29(6)：741 [12]Aicardi M,Casalino G,Bicchi A,et al.Closed loop steering of [18]Khalil H K.Nonlinear Systems.New York:Prentice Hall,2012
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