D01I:10.13374/i.issn1001053x.1981.04.013 计算机绘透视图时透视变形矩阵和旋转矩阵 的关系以及其他有关问题 工程图学教研室张雄飞 一、引 言 大家都知道，用计算机绘图系统画一个形体的透视图可以按下面的步骤进行： 1)先使形体透视变形： 2)再把透视变形的形体旋转： 3)最后把变形旋转后的形体投影到画面上，即： 正常化 (DJ)(T:)〔T:)〔Tg)=〔DJ')一→〔DJ") 其中〔DJ)为确定形体的点集的坐标， (DJ')为经过变换后点集的坐标： 〔T,),〔T1),〔T,)分别为透视变形矩阵、旋转矩阵和正投影矩阵。 在上述透视图形成过程中，透视变形和旋转是有固定关系的。因为，形体经透视变形变 形变换后不仅变了形，而且相当于建立了透视模型。透视变形矩阵中各元素若已选定，“相 当视点”，“相当画面”和“相当视距”就已经确定。因此，·要画透视图，就必须把这个模 型的“相当画面”旋转到和画面重合，再进行正投影，才能得到准确的透视图。 文【！是国内论述图形处理的矩阵方法面一本重要参考书，但对上述问题也没有展开讨 论。因此本文的目的就是在【的基础上进一步讨论绘透视图时，透视变形师阵和旋转矩阵 的关系及其他有关问题，并简单说明它的应用。 二、透视变形矩阵的几何意义 物体上某个点p(x,y,z,1)经透视变换后变为p'(x',y',z',h),再经正常化后变 为p"(x,y",z”,1),即 「100p 010q 〔x',y',z',h)=〔x,y,z,1) 001r =〔x,y,z,px+qy+rz+1) 0001J (x",y”,z”,1) px+qy+rz+i'px+qy+rz+l'px+qy+rz+1' 分析这个结果，可以看出： 当px+py+rz=0时：x"=x,y"=y,z”=z。这说明在pX+qy+rz=0的平面 140
计算机绘透视图时透视变形矩 阵和旋转矩 阵 的关系以及其他有关问题 工 程 图学教研 室 张 雄飞 引 告口 大家都知道 ， 用计算机绘图 系统画一 个形 体的透视图可 以按下 而 的 步骤 迸行 先使形体透视变形， 再把 透视 变形的形 体旋 转， 最后把 变形旋转后 的形体投影 到画面 上 ， 即 正常化 〔〕〔〕〔 〕〔 〕 〔产 〕一 一 〔， 〕 其中〔为确定形体的点集的 坐标， 尹 〕为经过 变换后点集的坐标 〕 ， ， 〕 ， 〕分 别为透视 变形矩 阵 、 旋 转矩阵 和正 投影矩 阵 。 在 上述透视 图形 成过程 中 ， 透视 变形和旋 转是有固定关 系的 。 因为 ， 形体经透视 变形 变 形变换后不仅 变 了形 ， 而且相 当于建立 了透视 模型 。 透视 变形矩 阵中各元 素若 已选定 ， “ 相 当视点” ， “ 相 当画面 ” 和 “ 相 当视 距” 就 已经确定 。 因此 ， ， 要 画透视 图 ， 就必须 把这个模 型 的 “ 相 当画面 ” 旋 转到和 画面 重合 ， 再 进行 正 投影 ， 才能 得到 准确的透 视 图 。 文 ‘是 国 内论述图形处理的 矩 阵方 法面 一 本重要 参考书 ， 但 对 上述 问题 也没有展 开讨 论 。 因此本文 的 目的就是在 〔‘的基 础 上进一 步讨论 绘透视 图 时 ， 透视 变形 知 阵 和旋 转矩 阵 的关系及其他有关问题 ， 并简单说 明它的 应 用 。 二 、 透视 变形矩 阵 的几何意义 物体上某个点 ， ， ， 经透视 变换 舌变为 ’ ’， ’， ‘ ， ， 再 经正 常化后 变 为护 护 ， ， ， 扩 ， ， 即 〔 尹， 产， ，， 〕 〔 ， ， ， 〕 〔 ， ， ， 〕 ，， 〔 ‘人 · ‘ ， ·‘ ， 一卜 分析这个结果 ， 可 以 看出 当 时 扩 ， ， 了， 护 。 这 说 明在 的 平面 又 ＤＯＩ：１０．１３３７４／ｊ．ｉｓｓｎ１００１－０５３ｘ．１９８１．０４．０１３
上，图形的形状、大小不变，因此这平面相于画而，称之为“相当画面”。 当px+qy+rz+1-→0时：x”→，y"→∞，z"→∞。这说明投影中心在原点0向这 个平面作垂线得到的垂足处，称这个垂足为“相当视点”。形体上的点达到这平面时，它和投 影中心(“相当视点”)的连线在px+by+rz+1=0的平面上，由于这平面和“相当画面 平行，所以投影到了无穷远。 当x+o时，x”+-1 。这说明变形后的形体沿原X方向的所有直线都将交·X轴于 p -处，称-1这点为X方向的“相当灭点”，同理y→四时，y"→-z→∞ 时2”}，P地 !,也称-。点及-点分别为Y方向及2方向的“相当灭点”！见图1。 q (“相当画而”未画出) 1/P相当灭点 1/ 面 相当灭点 S视点 相当灭点 1 图1 三、确定旋转矩阵的角度 由（二）的分析可以清楚地看出，在把透视变形后的形体正投影到画面之前，必须旋转整 个模型，使“相当画面”和画面重合。方法如下： Na ::因为P,q,r是“相当画而”的法线ON的方 向数，所以 ON=〔p,q,r〕 N(p9. :把ON转到和y轴承合，可按下面两步进行，见图 2第一1先把ON绕Z轴转中1角，使它和YZ而 N, 重合，得ON,则 :.tg中1=p 图2 141
上 ， 图形 的形 状 、 大小不 变 ， 因此这 平面 相 当于画面 ， 称 之为 “ 相 当画面 ” 。 当 时 “ ， “ ” ， ’ ” 。 这 说 明投影 中心在原点 。 向这 个平而 作垂 线得到 的垂 足处 ， 称 这 个垂 足 为 “ 相 当视 点” 。 形 体上 的点达 到这 平而 时 ， 它和 投 影 中心 “ 相 当视 点 ” 的 连线在 十 的 平面 上 ， 由于这 平而 和 “ 相 当画 面 平行 ， 所 以 投影 到 了无穷远 。 当 时 ， 一处 ， 称 一 ， 一 这 点为 。 这 说 明 变形后 的 形 体沿原 方 向 的 所 有直 线 都 将交《轴 于 方 向的 “ 相 当 灭 点” ， 同 理 ， 时 ， “ 一 时 ’‘ 一 点 及 一 一兰 上 ，， 点分 别为方 向 及 方 向的 “ 相 当灭 点” 。 见 图 。 “ 相 当画 而 ” 未画 出 ‘ 侧 碳 火 业 图 三 、 确 定旋转矩 阵 的角度 由 二的 分析可 以清楚地 看 出 ， 在 把透视 变形 后 的 形体正投影 到 画面 之前 ， 必 须 旋转 整 个模型 ， 使 “ 相 当画 面 ” 和 画 而 重 合 。 方 法如 下 卜 因为 ， ， 是 “ 相 当画 而” 的 法线 的 方 向数 ， 所 以 〔 ， ， 〕 转到 和 轴 币合 ， 可按下面 两 步进 行， 见 图 一寸 则 绕 轴 转 小 ，角 ， 使 它 和 而 小 ， 尹 ·
Oniy=vp+q 其次：再把ON,绕X轴旋转中，角得ONy,则 r tg中：=√p+q2 中1，中：，就是两个旋转矩阵的角度。 四、确定视距D 由（二）的分析可以看出：由原点O到px+qy+「z+1=0这个平面的距离就是视距D。 (或者说“相当画面”到px+qy+rz+1=0这个平面的距离就是视距D。)因此 D=8 其中，n为Px+gy+rz+1=0平面的单位法向量，8为px+qy+rz+1=0平面的任意点 的向径，现取这平面的X轴截距点(-1/p,0,0),于是 D=pi -21 ptn+p。+ qj *nn)) -1 Vp44q3+r ·相当视点 1 式中的负号表示“相当视点”总在一X,-Y,一Z 这个隅中，经旋转后总在一Y轴上。 总之，透视图的变换矩阵〔T)应为 图3 100p）co8p:inp,00/10 0 0/1000 T= 0109 -sin o cop0 cos2 o sin o2 00 000 001r 0 000 0-sin o2 co82000 1 0 (00010 0000000(0001 coBop:0 sin gin 20 sin o:0 cosop:cosp2 0 (1) 00 cos p2 0 00 0 0 其中 中，=crctg-P (2) r 中：=arctgp+q (3) -1 D=√p*+g2+r (4) 公式(1)~(4)概括了画透视图的变换矩阵中p、q、「和转角、视距的关系。（注：本文讨 论中没有考虑总比例原素和平移原素的影响。) 142
石 ， “ 了 址 ‘ 其次 再把绕轴 旋转 小 角得， ， 则 ‘甲 ’ “ 于下压不矛 今 ， 小 ， 就是两个旋转矩阵 的 角度 。 四 、 确定视 距 由二 的分析可 以 看 出 由原点 到 这个平面 的距 离就是视 距 。 或者说 “ 相 当画面” 到 这个平面 的距 离就是视 距 。 因此 》 一知 。 其中 为 。平面 的 单位 法向量， 的向径 ， 现取 这 平面 的轴截 距 点 一 ， ， ， 各为 平面 的任意点 于 是 户 寸 ’ 一 二 一县里 一 二 气一一丝选 了 “ 吕 了 吕 一 “ 州卜 寸 十 一 ‘班井 一 三 二于 气 一 一 认 名 “ 吕 一 一 亿 石不而 飞不…杯 式 中的 负号表示 “ 相 当视点 ” 总在 一 ， 一 ， 一 这个隅中， 经旋转后 总在 一 轴上 。 总之 ， 透视 图的 变换矩阵 〔〕应为 图 、‘‘ ﹄ 户 ”甘工︸ 八甘﹄︸︸﹄ ﹃︸，土 日八﹄甘工 八 呼 甲 二 一 中 ” 戈 田 甲 ‘ 甲 甲 少 日 甲 颐 甲 一 苗 甲 甲 旦 厂 ‘ 、， 、 … 八曰︸ 哪 甲 甲 一 甲 一 甲 吕甲 日 甲 甲 … … 其 中 。 一 · ，十 ‘ 一 ，不轰不 布沂箭弄 公式 概括 了画 透视 图 的 变换矩阵 中 、 、 和转 角 、 视 距 的关 系 。 注 本文讨 论 中没有考虑 总比例原 素和 平移原 素的影 响 。
五、实际应用 1)在动态化的显示中，实际上是视点不动，物体在旋转。这时，可先根据视角大小 (一般为28°左右)确定视距，把视点设定在y轴上一D处，于是形成了Y方向单向透视，即 p=r=0, q=0 然后让物体绕Z轴转中：角，再经过上述方向Y单向透透变形，再正投影，就可以到得角透视 的效果。整个变换矩阵(T)为 co8p:8inp100）0000)I1000 sin p:cosop:00 0000 (T)= 010 0 00 0000 0010 0 0 01'0001(0001) -cos 00-sin D -sin p:00 co 0 000 0000 上式中的-inp:/D,一cop:/D,·我们还可以证明就是透视原素p,q,.即 -inp1=√p*+qi sin1=q D -inp1=√p2+q2inp1=g D 2)如果让视距D逐渐变化，则矩阵 1000) 010q (T)= 0010 0001 中的q=也跟着逐渐变化，再消除物体（例如建筑物）在视角以外的部份，那么，犹如人 走进建筑物，边走边看所看到的情景，这样的动态显示从原理上讲也是不难理解的。 参考文献 〔1)《图形处理的矩阵方法》1979.4北京航空学院机械制图教研室编。 〔2)《Mathcmatical ElemInt ior Comqnter Craghios》D.F.Rogers& rJ.A,Adams。 〔3)《建筑制图》1978.9华南工学院，湖南大学等五院校《建筑制图》编写组编。 〔4)《空间解析几何引论》南开大学数学系编。 143
在 动态 化 的显示 中 ， 一般为 。 左右 确定视 距 ， 五 、 实 际 应 用 实际 上是视点不动 ， 物 体在旋 转 。 这时 ， 可 先根 据视 角大小 把视 点设定在 轴 上 一 处 ， 于 是形 成了 方 向单向透视 ， 即 一 一 一予子一 产 然后 让物体绕 轴 转 小 角， 再经 过 上述方向单向透透 变形， 再正投形 ， 就 可 以 到得角透视 的效果 。 整个变 换矩阵 为 哪 甲 酬叫山州划 鱿 甲 日︶﹄︸ 八甘，占﹄‘ 〔〕 一 “， 甲 、 ” ‘ ” 一 帕 印 一 目 甲 一 “， 甲 。 咋思黔 上式中的 一 甲 ， 一 “ 甲 ， 我们还可以证 明就是 透视 原素 ， ， 即 … 几、、 一 一 田 甲 亿 甲 一 一 甲 侧 甲 一 如果 让视 距 逐 渐变化 ， 则 矩阵 一 、沪 产、 中的 子 也耽 逐渐 变化 ， 再消除物体例 如建筑物 ，在视角以外的 部份 ， 那 么 ， 犹如人 走进建筑物 ， 边走边看所 看到 的情 景 ， 这样 的 动态显示 从 原理上讲也是不 难理 解 的 。 参 考 文 献 幻 《图形处理 的 矩阵方法 》 北京航空学 院机械制图 教研室 编 。 〔〕 《 》 。 〕 《建筑 制图 》 华南 工学院 ， 湖南大学等五院校 《建筑 制图 》编 写组编 。 〔们 《空 间解析几何 引论 》南开大学数学 系编 。