D0I:10.13374/i.issn1001-053x.1959.00.007 北京钢铁工業學院售報 第七期1959年9月 雨於门OHBaJoB定理奥Kellog定理的推赛 王鸿昇 (数學教研組) 摘要 C.牙.Anbnep與李国平均曾将H.H.TIpxBaRoB定理加以推度〔1〕，〔2)本文是 将李围平的定理再推庚到单位圆内非完全解析函教的情形。C.分.Ann©p电曾将 Kellog定理加以推廉，本文是利用李圈平的定理以類似方法来推廉Kellog定理。 H.H.piBanoB〔3]，〔4)的定理：設f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在|z<1上是解析的，其 实部u(x,y)在|z|≤I上是速额的，並且在|z=1上滿足c毅的Lip8 ohitz条件，0<c<1, 則f(z)在zl≤1上連藏，並且也满足a额的Lipschitz条件。 C.牙.Anbnep〔1)會提出下面的定理，推广了pnBanoB定理：設f(z)=u(x,y)+iv(x,y) 在z<1土是解析的，其实部u(x,y)在|z≤1上是速赖的，‘其边界随u()的速镀模(h) 滿足条件 in hiak o h 則(z)在|z≤1上速籁，並且其边界上的速藐模”，(h)满足条件 cn(h)dh<o 李国年〔2)會提出下面的定理，也推广了ΠPHBanoB定理：設(z)=u(x,y)+iv(,y) 在|z<1土是解析的，其实部u(x,y)在|z≤1上是連藕的，其边界值u(8)的迎辙模：(h) 滿足条件 (h)dho, Jo h 則f(z)在|z≤1上是連的，如果除了上述条件外增加雨个条件 d出hn(edat<o. t 则f(z)在|z=1上的速籁模”，(h)满足条件 (h)dh<o, 当Lipschitz条件成立时， ∫了广41hah<胺立
北 京姻 映 工 余拳院 李毅 第七 期 ，夕年 夕月 砚放 。 日如 定理典 定理的推度 王 鸿 弄 数 拳教研组 摘 要 只 ‘ 典李 固 平 均 曾将 二 ， 定理加 以 推炭 〔 〕 ， 〔 〕 本 欠是 将李 因 平 的 定理再 推 庚到 早位 圈 内 非 完全解析 函救 的 情形 。 只 。 切。 ， 札首将 呢 定理加 以推灰 ， 本文是利 用 李 固 平的 定理 以甄似 方法来维价 呢 定理 。 · · 洲 ” 〕 ， 〔 〕 的定理 投 一” ， ，， 在 。 土是解析的 ， 共 实部 ， 在 川‘ 上是莲擅的 ， 盆且在 卜 七满足 触的 条件少。 ， 刻 在 三 上速擅 ， 业且也满足 蔽的 吕 二 条件 。 只 ‘ 〔 〕曹提出 一「面 的 定理 ， 推广 了 ，， 定理 毅 二 ， ， 在 上是解析的 ， 其实部 二 ， 在 三 上是速搜的 ， · 其边界枷 幻 的莲技模 知 浦足条 件 屹半 ” ’‘ ’ 剧 在 】三 上速值 ， 亚且其边界上 的速植模 刀， 满足条件 ‘ “ 冥单曲丈 李国平 〔幻 曹提出下面 的 定理 ， 也推广 了 “ 加 ” 定理 毅 有刃 十知你 ， 在 上是解析的 ， 其实部 ， 在 “ 三 上是速植的 ， 其边界值 的莲拔模 如 满足条件 广鱼丝曲 二 ， 则 在 ‘ 上是莲菠的 ， 如果除 了上述条 件外增加雨个条 件 了斌裂笋 。 丈戚华 二 · 二 时 在 二 上 的莲值模 ” ， 满足条件 屹平 ” 当 ， 一 · 条 件成立时 ， ‘ 平 · ， 成立 ， DOI ：10．13374／j ．issn1001－053x．1959．00．007
-78- 朗销學報 当 nhld曲<o成立时，”%dh o h 时0<，鲁g9a<a指意立 现在我們將上面的定理再推广到(z)在|z<1内不完全是解析的一种情形。 定理1.骰f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在Iz<1内除zo外是解析的，在zo处有n阶极 点，其实部u(x,y)在|Z|≤1上是速栽的，(z。点除外)，並且在|z=1上的速籁模”4(h) 滿足条件 則(z)在|z|≤1上速襪(Z。点除外)。如果除了上远条件外增加雨个条仲 <aa<, h. 則f(z)在z=1上的速被模”，(h)滿足条件 (h)h<. o h 证明：設u(x,y)在|z|=1上的边界值为u(s),則可写出Schwarz积分公式 8(a)-云()8g“+s+i, 2r2u(8)e1B 2n eia—ds-u(8)ds+iv。 0 合T=el& 22u(s) 、2m0u(aa+i。 2n 8(2)=2iJ。-Zdr- ÷故S(z)代表|z<1内的解析函数，其实部在|z≤1上是速籁的，在|z=1上的边界值 是u(8),由本定理假設的条件，再根据李国平所提出的推广~定理，S(z)滿足本定理的結 果。 根据本定理的假設，f(z)一s(z)在引z<1丙除zo点外处处是解析的，在zo处有n阶极 点，其实部在|z=1上的边界值三0，但这样的函数可由下面的方法导出。 設有函数q(z)在|z<1丙除0点外是解析的，在0处有n阶极点，其实部在|zl=1上 的边界值=0，我們可将此函数在0点展开为 a(Z)=Cz*, k=-n 其实部滿足 多
一 馆 一 如 翻 李 权 伴 ，，· ， 。 “ 筑抨 ， ， 械平 二 ， 屹要宁粤外 二俪云 现在我们牌上面的定理再推广到 在 】 内不完全是解析的 一种情形 。 定理 毅 ， ， 在 内除 。 外是解析的 ， 在 。 处有 阶极 点 ， 其实部 ， 在 ‘ 上是速擅的 ， 。 点 除外 ， 亚且在 上的速值模 彻 满足条件 ‘ ， 恻泣曲 ， 助 在 ‘ 上莲值 。 点除外 。 如果 除 了上述条 件外增加雨个条件 ’ 小尤黔 。 二 及俨屹半 。 ， 助 在 上 的莲疲模 万， 满足条件 ‘冥丛曲 二 · 征明 投 ， 在 上的边界值为 ， 刻可写 出 么 积分公式 ， ‘ ， 、 二二二 －艺俄 成 、 ， ， 戈昌 少 二 一 尸 石一 十 之 ， 一 ‘ ， ， 一 十 ’ 。 令 ， ， 一 命厂摆窄芬如 一 命伽 · · 。 ” ‘，一命 了黔 一会小 · 日· 一 故 代表 引 内的解析函 数 ， 其实部在 三 上是莲值的 ， 在 上的边界值 是 ， 由本定理假 投的条件 ， 再根据李 国平所提出的推广定理 ， 幻 满 足本 定理的桔 果 。 根据本定理 的假投 ， 幻 一 ， 在 内除 。 点 外处处是解析的 ， 在 。 处有 阶极 点 ， 其实部在 引二 上 的边界值“ ， 但这样的雨数可由 下面的方法导出 。 毅有函 数 幻 在 内除 。 点外是解析的 ， 在 处有 阶极点 ， 共实部在 刻二 上 的边界值兹。 ， 我 鹤可 将此函 数在 点展 开 为 一 刀 · · ， 一 其实部浦足
第七期 ,79 00 Re Cxetk=0, k=-n 00 合cx=C+iBs得 (cx cosks-Bxsinks)=0 k=一n 由三角級数展开的唯一性，知道 a0=0,a-k=-Ck,B-k=Bx,k=1,2,n, a=Bk=0,k=n+1,n+2,…. 因而得出 co=i80,c=-x,(k=1,2,......,n) cx=0 (k>n) 所以，最后得出 n q(z)=iB。+ (cxzk-Ex2-k). k=1 若有函数Q(z)在1z0, 根据前q(z)的展开式，可得出下面的展开式： n Q(z)=iBo+ (c〔(z)]*-i〔(2)])， k=1 其中 2一Z0 (2)=1-z0z’ 由此得出 f(z)-S(z)=Q(z), 即 f(z)=S(z)+Q(z). 前面也提过S(z)滿足本定理的桔果。由Q(z)的展开式，知Q(z)在引z|=1上是解析的， 所以滿足本定理。故(z)也滿足本定理， 本定理也可以做为ΠPHBanoB定理与Anbnep?定理的推广。 Ke11og會提出下面的定理〔4)：設z=(w)是|w|<|内的解析函数，將單位圓單叶 写象为域D,D的境界是的一光滑的若当阴曲線下，F的切線对实軸的倾斜角为I(8)是下的 孤長S的函数，若I(s)滿足Lipsnhitz条件 1I(8)-(8')l≤ks-s'1%,0<a<1, 則(w)在w|≤1上是連额的，而在w=1上滿足Lipsohitz条件 I(ei0)-(ei0)I=kl0-014. C.牙.Anbnep會提出下面的定理〔1]，推广了Kel1og定理：設z=(w)及I(8)与前假 定相同，若I(s)的連薇模j(h)滿足条件 aa< 則中(w)在|z)≤1上速腹，並且在|w|=1上的其速额模(h)滿足条件
攀 每 期 一 一 刀 肚 一 ， 一 令 、 、 口、 得 刀 · “ 卜，·“ ’ “ ，一 二 一 由三角般数展 开 的唯一性 ， 知道 二 ， 一、 一 、 ， 口一、 口、 ， ， ， … … 、 口、 ， ， ， 因而得 出 。 凡 ， 一、 一 西、 ， 沙 ，， · ” … ， 、 ， 所以 ， 最后得 出 一 ‘，。 刀 。 、 一“ · 一 · 若有函 数 在 内除 。 点外是解析的 ， 在 。 处有 阶极点 ， 其实部在 幻 上 的边界值兰。 ， 通过保角变换 沪 ， 牌单位圆变 为单位圆 ， 使城 。 ， 训 么。 ， 根据前 的展开式 ， 可得出下面 的展 开 式 卜 ，，。 刀 、 〔 〕一“ 、 〔 ， 〕一 ， 二 共 中 中 么 一 一 活。 ’ 丫 由此得出 一 “ ， 即 名 ， 前面也提过 满足本定理 的枯果 。 由 幻 的展 开式 ， 知 在 引 二 上是解析的 ， 所以 满足本定理。 故 也满足本 定理 ， 本定理也可以做 为 即的 。 定理与 加 定理的推广 。 馆 曹提出 下面 的 定理 〔 〕 毅 二 动 是 内的 解析函 数 ， 牌 翠位圆单叶 写象为域 ， 的揖界是的一光滑的若当阴 曲腺 ， 的切腺对实翰的倾斜角 为 是 的 弧畏 的函 数 ， 若 吕 满足 么 条件 一 ‘ 感 一 ‘ 气 。 吞 ， 刻 代 在 】‘ 上是速植的 ， ， ， 而在 上满足 条件 口 、 ， ， 口 、 ， ， ， 。 。 ， ，。 ‘ ‘ “ 一 尹 ‘ ’ 压 口一 『 只 曹提出下面的定理 〔 〕 ， 推广 了 定理 毅 试 及 与前假 定相 同 ， 若 的莲拔模 满足条件 ， ， 二 」 沙 一不一一 “ 二 山二叹、 田 一 剧 训 伽 在 幻‘ 上莲渡 ， 兹且在 一 上 的其 莲藏模 叹 满足条件
=80一 辆院學邦 c a(h)dho. 0 h 我們也可用李国平所提出的条件来推广Kellog的定理。 定理2.設z=(w)与I(s)与前假定相同，若I(s)的速籁模(h)滿足条件 t 則(w)在1z≤1上連籟，並且在|w|=1上其速籟模σ(h)滿足条仲 証明：由定理的条件，知arg(w)在w≤1上是速额的，滿足 arg(w)-Ia)-argw-空，1l-1, 並且(w)屬于H,p>0〔4]。 因此，当I'<I时， 1 is-gr1=iw(e"nsey1ana≤M,I-r1, larg (el)-argo'(eI(s)-I(s'+I-I' ≤j(Is-8'I)+|I-'{≤M2j(1-'1女)+1I-V1. 以a(h)表示arg(er)的速额模，由上式及假定的条件得出 asv.Ky5 antfao. 同理有 ddhj(t)t<. 于是再由李国不的推广的Ipnnanos定理，知道ln(w)在Iw≤I上連籁，1n(er) 的速镀模(h)滿足条件 (A) 因此，中(w)中0速籁于w|≤1.設 w|<M,lw'<M, 的 則 lovww n! -K|w-w'|. n=1 命 w=In'(el),w'=In'(e); 則有 l(e)-(')<Ka(h) 当|I一'|≤h.再由(A)知道本定理是正确的
即 娜 除 净 杯 广卫粤工曲 二 ， 我们也 可用李国平所提出的条 件来推广 的 定理 。 定理 毅 试 与 与前假 定相 同 ， 若 的速擅模 满足条 件 俨 曲 二 ， 屹 ‘ 俨 二 ， 拙俨 ， 刻 训 在 ‘ 上速值 ， 亚且在 上 其莲擅模 。 满足 条件 广 护 哗工 征明 由定理的条件 ， 知 尹 在 三 上是莲擅的 ， 涌足 ， ， 一 ‘ 一 。 一 令 ， 一 ‘ ， 龙且 沪 ‘ 履于 ， ， 办。 〕‘ 因此 ， 一 当 时 ， 一 ‘ 毛 万 一 ’ ‘ ’ ‘ 感 心 夕 － ， 一二二一 尹 ，’ ’ ‘ ‘ ， 一 ‘ 艺 “ ， 理 价 ‘ ’ 工 一 必‘ ， ’ 三 一 ， 一 ， ‘ 一一 ，‘ 一一 ， ‘ 一 ， 专 一 ‘ 以 城 表示 理 尹 ’ 工 的莲值模 ， 由上式及假定的条件得出 同测有 尤书黔曲 “ ， 蛇今丹“ · 小 。 ， 屹 面俨 二 戍粤俨 二 于是再由李 国平的推广的 朋 定理 ， 知道 价 ， 在 三 上逮拨 ， 沪 ‘ ，了 的越稼模 之 习 浦足条件 屹半 ‘ ’ 因此 ， 尹 钾。 莲拔于 ‘ 投 ， ‘ ， 期 一 一 、 ， 一 ， 刀 嘿兰二， 一 ， 令 价 ‘ ， ， ‘ 二 价 ‘ ，“ 刻 有 沪 ， ，且 一 砂‘ ，“ 决 当 一 ‘ 再由 知道本定理是正确的
第七期 -81- 毯考文献 1 C.Anbnep,O paBHoMepHbIX nPHOnHEHHSX yHKIH KOMIneKCHoro nepemeHoro B 3aMKHyTo o6nacTH,M3B.AH CCCP,cep.MaTeM,T.19/o.6 1955 〔2)李国平，7 PHBanoB氏定理，武汉大学自然科学学报1956年第一期。 [3)A.Zygmmnd,Trigonometrical stries第7章 〔4)T.M.Toy3H,复变函数的几何理論 第九章、第十常 PE3IOME O.牙.Anbnep u JIn To-nAH cnenann pacunpeHna Teopem H.H.TIpHeanoBa〔1)，〔2]， HaHHa pa6oTa npea nocesueHa nanbHemwemy pacumpeHmio TeopeMbI JIn To-nmHa B o6nacTH HenonHo aHanHTHyeckon yHKUHH yaenbHoro Kpyra. C.Anbnep cnenan pacunpeHHe TeopeMbt Kellog.B AaHHon cTaTbe Takxe naHo pacwupeHHe TeopeMbl Kellog no aHanorHyHoMy cnoco6y npn Hcnonb3oBaHun TeopeMu JIn [o-nMHa
妇口 第 七 期 一 一 参 考 文 献 〔 〕 ‘ 只 ‘ ， 曰 月“ 狱 “ 牙 中 “ “ 盛 阿口几 口 众 ， 日 ， ， 入币 〔 〕 李国平 ， 日孙 。 。 氏 定理 ， 武汉大 学 自然科学学报 年 第一期 。 〕 即卫 ， 第 章 〔 〕 ， ， ， 复变 函 数的 几何理谕 第 九章 、 第十章 只 、 月 一 石 月 月 。 山。 ” 只 〔 〕 ， 〔 〕 ， 八 只 丁 月 习只 山 几 月 盛川 山只 犯 了 刀 一 刀 月 勺 盛 中 以 双 几 ‘ 只 ‘ 两 “ 皿 益 卜 狱 几 山叩 洲 以 口 月 ” “ “ 口 “ 班 一 呀