轧件冷头对轧机动态应力的影响

D0I:10.13374/j.issn1001053x.1981.01.013 北京钢铁学院学报 1981年第1期 轧件冷头对轧机动态应力的影响 力学教研室杨揆一 摘 要 本文用初等函数计算了有冷头轧件所引起的轧机系统的动力响应。文章先对一 自由度系统绘出以咬入时问为参数的反应谱，而后把作为多质量系统的轧机动应力 化为一自由度系统动力响应的某种组合。计算结果表明：有冷头轧件与无冷头轧件 所引起的最大动应力之比一般小于（至少不大于）該两激力的最大值之比。这两个 比值之差多在0~10%范围内。 轧件进入轧机时，引起轧机的振动，从而产生动态应力。一般把轧件对轧机系统的激振 扭矩简化为图1所示的激力函数。其中t二0到t1为咬入过程，：以后为轧制过程。如果把轧 件端头造成尖舌状，那末咬入过程将会延长。反之，如果轧件端头过钝，则t,的数值就会很 小。 排矩 扭矩 Mx (1 图1 图2 有时轧件端头的温交低丁其它部位的温度，这时轧件对轧机系统的激振扭在：处较 高，其变化规律大体如图2。设放振扭阳的高峰数值M,与常态数值Mκ之比为δ，一般认为 这种激力所引起的最大响应与图1所示激力的最大响应之比也是ò。于是可羽图1激力引世 的最大动应力乘以系数δ，便得到有冷头轧件引起的轧机系统的最大动应力。 本义把具有冷头轧件的激振扭矩简化为某初等函数的组合，求得了系统响应的一般衣达 式。分析结果表明：有冷头轧件使轧机产生的最大动应力与图1激力产生的最大动应力之比 并不等于8，它比ò略小，并与咬入过程t:以及激力衰减的速度有关。 奉本文1980年9月23日收到。 118

北 京 钢 铁 学 院 学 报 年 第 期 车 件 冷 头 对 轧 机 动 态 应 力 的 影 响 ‘ 力 学教 研 室 杨 撰一 摘 要 本 文用 初 等 函 数计算 了有冷头 轧件所 引起 的轧机 系 统 的动 力响应 。 文 章先对 一 自由度 系杭 绘 出 以 咬入 时 间为 参 数 的反 应 错 ， 而 后 把作 为 多质量 系 统的轧机动应 力 化 为一 自由度系统 动力 响应 的 某种 组 合 。 计算 结果表 明 有冷 头 轧件 与无 冷头 轧件 所 引起 的最大 动应 力之 比一 般 小 于 至 少不 大于 故 两 激 力的最 大值 之 比 。 这 两个 比值 之 差 多在 范 围内 。 轧 件进 入轧 机 时 ， 引起轧 机 的振 动 ， 从而产生 动 态应 力 。 一 般把轧 件对轧 机系统 的激振 扭 矩 简化为 图 所 示 的激 力函数 。 其 中 二 到 为咬 入过 程 ， ，以 后 为轧 制过 程 。 如果 把轧 件端 头造 成尖 舌状 ， 那 末咬 入过 程将 会 延 一 长 。 反 之 ， 如果轧 件端 头 过钝 ， 则 ，的数值就 会很 小 。 扭 矩 扭 矩 ‘ 二 冬 图 有时轧 件端 头 的 温 · 芝溉 ’ 其它 部位 的 温度 ， 这 时轧 件对轧机 系统 的激 振 扭 矩在 处较 高 ， 其变 化 规律 大体如 图 。 设徽振 扭 爪的高峰数 位 与常 态数 值 之 一 匕为 ， 一般认 为 这 种 激 力所 引起 的最大 响 应 与图 所示 效力的最 大响应 之 比 也是 。 于是 可用 图 激 力 引起 的最 大 动应 力乘以 系数 乙 ， 便 得 到有冷 头轧 件 引起 的轧 机 系统 的最 大 动应 力 。 本文把 具有冷头轧 件 的激振 扭矩 简化 为某初等 函数 的组 合 ， 求得 了系统响 应 的一 般 农达 式 。 分析 结果 表 明 有冷头轧 件使轧 机 产生 的最大动应 力与 图 激 力产生 的最 大 动应 力之 比 并不 等 于 乙 ， 它 比 乙略小 ， 并与咬 入 过程 ， 以 及激 力衰减的速 变有关 。 今 本文 年 月 日 收 到 。 吕 DOI ：10．13374／j ．issn1001－053x．1981．01．013

一、单自由度系统的动态响应 作为过渡，先考虑一白由度振动系统在冷头轧件激力下的响应。为计算简便，设Mx= 1。我们把具有冷头轧件产生的激振扭矩写成 F(t)= t (t≤t1) F() (1) C=0 l1+(8-1)e-c(t-t)(t>t1) 式中C为一参数，它由温度沿轧件长度的变化来确定。它的 C=I =0.5 极端情况：当C=0,代表轧件各处激力与冷头相同，当C= C=n ∞，代表除了冷头的激力增高外，其它各点激力均保持为 Mx=1。参数C不能取这两种极端状态，而是界于它们之 间。（图3） 把微力F(t)代入Duhamel积分，得到系统在(t.~ 附3 t:)内的响应是 x=m.'sipt-t)dv+ +1+8-g'e -Bin p(t-t/)dt (2) mp 其巾p为系统的角频率，m为振动体的转动惯量（相当于质量）。由于系统的最大响应不可 能出现在区间(0，t,)内，故系统在该区间内的响应不再赘述。 为计算(2)式中的第二个积分，令 u=e-ct/, dv=Sinp(t-t)dt/ 则 du=-ce-c1/dt/, 10 cosp(t-/) 于是有 ,et-tinp(t-t)d'=eo小，uv -g[e-et-6ceop(t-t+f,e-cve8pt-vir] (3) 对括号内的积分进行类似的变换，令 ui=e-ct/ dv=cosp(t-()d 于是 ∫ce-a'co8p(-)dt'=ci,u1ivi (t-t)(t-d (4) 将（4)代入(3)，整理后即得 119

一 、 单 自 由度 系统 的动 态 响应 作 为过 渡 ， 先考虑 一 自由度振 动 系统 在 冷头轧 件 激 力下 的响 应 。 为计 算简便 ， 设 二 我 们 把 具有冷头轧 件产生 的 激振 扭 矩 写 成 犷吃 叭 各 一 二 一 一 三 ， 、 一 ‘、了 ‘‘ 、， 式中 为一 参数 ， 它 由温度 沿轧 件长度 的 变化来 确定 。 ’ 已的 极端情 况 当 ， 代 表轧 件 各处激 力与 冷头 相 同 ， 当 ， 代 表除了冷头 的激 力增 高外 ， 其 它 各点 激 力均 保 持 为 。 参数 不 能 取 这 两 种 极端 状 态 ， 而 是 界于 它们之 间 。 图 把激 力 代入 积 分 ， 得 到 系 统 在 ， ， 内的响应 是 飞懊乏 二 二 ” 月 邑 ， 一 尹 产 十 各 一 一 《 一 一 一 尹 产 匆 其 巾 为 系统 的 角频 率 ， 能 出现 在 区 间 ， 为振 动 体的转动惯 量 相 当于 质显 。 由于 系统 的最 大响 应 不可 ， 故 系统 在 该 区 间 内的 响应 不 再 赘述 。 为计 算 式 中 的 第二 个积 分 ， 令 一 一， 一 一 ‘ ， ， ， 一 ’ ， 一 ‘ 于 是 有 无一 ‘ ， 一 ，， 一 ‘ 产 二 一 ， 一， 二 二 ‘ 一 一 。一 ， 。 。 ， 。 、 ，一 、 ， ‘ · · 。 ， 、 一 ， ， “ ” “ 对 括 号 内 的积 分 进行 类似 的变换 ， 令 〔二一 吐， 、 二 一 ‘ 、 ， 于是 ‘ 一 ‘ 一 ‘ 一 产 ， ‘ 产 一 一 ‘ · 一 一 卜 卜 ， 一 ‘ ·‘一 卜 ， ， ， … 将 代 入 ， 整理后 即得

∫eet-inp(t-)dt' c-c(-11)-cosp(t-t:)+c-sinp(t-t:) (5) p2+c2 (2)式中的第一个积分以及第二个积分的其它部分容易求得。把它们的积分结果和式(5) 一起代入(2)式，得出系统响应的表达式如下： mp cosp(t-t)+ p ti sinp(t-t:)-sinpt 1人1-cosp(t-t1)}+mp·1+c2{e4-coaP(t-t) +p sinp(- (6) 作为一个极端偕况，在式(6)中令c=0,则 s. sinp(t-ti)-sinpt 把它和无冷头轧件激力（即 图1中令Mk=1)的响应【) C=0.5 1.5 相比较，可以看出，此响应 恰为无冷头轧件响应的ò 倍。因而它们的最大响应之 0.5 比也是6。 通常情况，c≠0时，其 t:/r2 t/x 响应曲线大体如图4所示。 图4 此图是按8=1.5，L= 1.5,(t为系统的周期)mp2=1,以及c分别为0.5和∞的数据绘制的。其响应的最大值分 别为1.737和1.592。而对应的(=1.5， 8=1.5C=0.5 mp2=1)无冷头轧件所产生的最大响应可 由其反应谱得知：xm=1.212。因此，在这 8=1.2C=0.5 样的具体尔件下，有冷头轧件与无冷头轧件产 6=1.5C=c 生的最大响应之比分别为 81=g=1.43(c=0.5的情汉) 8=1,2 1C=0 0:=:898-1.31(c=0的特视) 无冷头轧件 由此可见，当有冷头轧件的最大激振扭矩与无 冷头轧件激振扭矩之比为1.5时，其最大的响 0 应之比一般低于1.5。其具体数值与反映轧件 3t1/t 温度沿其长度变化的系数©有关。最大响应之 图5 120

，一 ‘ ’ ‘ 一 ‘ ’ ·‘· “ 一 “ ’ “ ‘ ‘、了 产、 ﹃刁 「一 ‘ 一 ’ 一 ‘ 一 ‘ ’ ‘ 一 一 一 么 式 中的 第一 个积 分 以 及 第二 个积 分 的 其它部分容易求得 。 把 它们 的积 分结果 和式 一起 代 入 式 ， 得 出系统 响 应 的表达 式如下 ，一 ， 毛 一 一 一 ，， 一 。 “ 飞 ，一 。 。 。 ，一 ， 十 共参一导 一 《 一 一 。 。 ， 、 一 ， 厂 ‘ 、 － 一 · 一 气 一 ， 作为一 个极端 情 况 ， 在 式 中令 ， 则 · 、 、 ·‘二 一 一 一 〕 乙 一 入︸ 一 “ 石 ‘尸 皿‘卜，‘‘ 夕 ，孟“二 ， ， 丫 图 把 它和 无冷头轧 件激 力 即 图 中令 的响应 ‘ 相 比 较 ， 可 以 看 出 ， 此 响应 恰为 无 冷 头轧 件响 应 的 各 倍 。 因而 它们 的最 大响应 之 比也是 乙 。 通 常情 况 ， 祷 时 ， 其 响应 曲线大体如 图 所 示 。 此 图 是 按 “ ‘ ’ ， 令 为 系统 的周 期 “ ， 以 及 。 分别为 和 的数据 绘 制的 。 其响应 的最大值分 别为 和 。 而对 应 的 一 黔 ， ， “ 无 冷头 轧 件所 产 生 的 最 大 响 应可 由其反应 谱得 知 。 。 因 此 ， 在 这 样的具 体条件下 ， 有冷 头轧 件与无 冷 头轧 件产 生 的最大响应 之 比分别 为 右二 二 ， 各二 。 一 。 二 牛 。 的 清况 乙 二 、 名介 ‘ 芝介 。 的情 况 无冷头轧件 由此可 见 ， 当有冷头轧 件 的最大 激振 扭 矩 与无 冷头轧件激振扭 矩 之 比为 时 ， 其最大的响 应 之 比 一般 低 于 。 其具 体数值 与反 映轧 件 温度 沿 其长度 变 化的 系数 有关 。 最大响应 之 百 ， 图

比的上下界是，1.5(c=0的情况)和1.314(c=∞ 的情况)。 21 实际计算表明，有冷头轧件激力的最大响应还 0 和咬入过程t:有关。但它不同于无冷头轧件的最大 270. 高 响应对t:的依赖关系。我们对t:取若干数值，计算 嘉 1823·1138 71898.112231 了它们的最大响应列于表1，并且绘出了振动系统 对于参数t:/π的反应谱（图5）。 P2.1 680 从表1I图5可以看出，在t1/τ不是整数的 各点，有冷头轧件激力与无冷头轧件激力的最大响 N 多 应之比都不同程度地小于8。而当t1/τ为整数时， 6J 806.1 .2.1 则两个最大响应的比值恰为8，达到最大。 二、多质量轧机系统的动应力 的 1601. 8 朗 01 设轧机简化成n个质量和n-1个弹性轴串联起 ☒ 来的扭振系统（图6）。系统的各个代表符号如 名 862 下： P12 158.13 t- 女 K N 6IS'I N 图6 J,J2,…,J。一各个质量的转动惯量。 o VEZ' K,K2,…K。-1一各轴的扭转弹簧系数。 EP8'I 85. P,P2,…,Pn一系统的各个角频率。因 图6为正半定系统，故p1=0。 常 202.5 820.5 〔X)一各质量的角坐标组成的列向量。 182 〔X,)一正规的角坐标。 .128 〔M)一质量矩阵。 22 26.3 680.2 682.5 〔S)—一刚度矩阵。 〔X),一对应于第j个频率的特征向量，此 G86 器 0.2 88.2 896 特征向量是归一化了的。即 (XN),T〔M)〔XN),=1, (j=1,2,…,n) 图 Xw:1一上述特征向量的第i个分量。 〔XN)一各个特征向量组成的矩阵。 N 议 分 8 8 〔Q〕一激力列向量。 〔Q,)一正规坐标下的激力列向量。 P U 社 {}一横的写列向量符号。 灯红水群女 121

川洲州侧 。 · 。 一 卯 · 一 ， · 。 一 · 囚 一 · 。 一 · 洲 一 哪工︸ · 州 一 。洲 一 · 。洲二 一 哪 · 。 ︸ · 一 、一牡解 比 的上下 界是 的情 况 和 “ 的情 况 。 实际 计 算表 明 ， 有冷 头轧 件激 力的最 大响应 还 和 咬 入过 程 ，有关 。 但 它不 同 于无 冷头轧 件的最 大 响应 对 ，的依 赖 关系 。 我们 对 ，取若 干数值 ， 计 算 了它们 的最 大响应 列 于 表 ， 并且 绘 出了振 动 系统 对 于 参数 ， 的反应 谱 图 。 从 表 和 图 可 以 看 出 ， 在 ， 不是 整数的 各点 ， 有冷头轧 件激 力与无 冷头轧 件 激 力的最 大 响 应 之 比都不 同程度地 小 于 各 。 而 当 ， 为整数时 ， 则 两个最 大响应 的 比 值恰为 各 ， 达 到最 大 。 二 、 多质 量轧机 系统 的动应 力 冲督创卜雄禽崛垢研姗 设轧 机简 化成 个质 量 和 一 个弹性轴 串联 起 来 的扭 振 系统 图 。 系 统 的 各个代 表符 号如 下 甲 二二 吕 “ 飞 卜 二 图 邢工 ，， ， … ， 。 － 各个质 量 的转动 惯量 。 ， ， … 。 一 － 各轴 的扭 转弹簧系数 。 ，， ， … ， － 系统 的 各个 角频 率 。 因 图 为正半定 系 统 ， 故 ， 〕－ 各质 量 的角坐标组成 的列 向量 。 〔 〕－ 正 规 的 角坐标 。 〕－ 质 量 矩 阵 。 〔 〕－ 刚度 矩 阵 。 〔 〕 ， － 对应 于 第 个频率 的 特 征 向量 ， 此 特 征 向量是 归一 化 了 的 。 即 〔 〕 ， 〔 〕〔 ， ， ， … ， ， － 上述特征 向量 的 第 个分量 。 〔 〕－ 各个特征 向量 组 成 的矩 阵 。 〕－ 激 力列 向量 。 〕－ 正 规 坐标下 的 激力列 向量 。 － 横 的 写 列 向量 符 号

设无冷头轧件的激力F。作用在第K个质量上，则系统的运动微分方程可写为 (M)〔X)+(S)X)=〔Q)={0,O,,Fo,O,…,O} (7) 将此方程用坐标变换 (Xp)=(XN)-I(X)或〔X)=〔XN)〔Xp) (8) 转换到正规坐标，则方程化为 〔Xp)+〔p2)〔Xp)=〔Qp)=(XNJT(Q) (9) 其中 p12, 0 P22, (p2)= 0 而（9)式的右端是 〔Qp〕=(KN)T(Q)={XNK1,XNK2,…XNKn}Fo 故该式的任一行可以写成 xp1+p:2Xp1=XNrF。(i=1,2,…,n) (10) 由于此系统的一阶频率为0，其它频率均不为0，（并设初速度和初位置均为0）故得系统 在正规坐标中的响应 F。dt"dt' (11) eF,mpt-dri=8） 用式(8)将此式变回原坐标，即得系统用原坐标表示的响应： ,imp( (i=1,2,…,n) (12) 由于P1=O,对应于p:的特征向量代表刚休型运动，故有Xw11=XN21=…=XNn1。将此关 系代入(12)，求出各质量的相对扭转角为 (imp (t-d 1■2 (i=1,2,…,n-1)(13) 同理，设有冷头轧件的激力为F:,则当此微力作用于同一轧机系统的同一部位时，此系统 各质量产生的相对扭角为 fF,imp(t-d 1= (i=1,2,…,n-1)(14) 式(13)和(14)还可以进一步用初等函数表示出来。我们还是只写出区间(1：，∞)内的 表达式。把(13)中的积分写成函数表达式，则该式变为 122

设 无 冷头轧件的激 力 。 作用在 第 个质 量 上 ， 则系统 的运 动微分方程可 写为 〔 〕 〔 〕 〔 〕〔 〕 〔 〕 ， ， … ， ， ， … ， 将此方程用 坐标变换 〔 〕 〔 〕 一 ‘ 〔 〕 或 〔 〕 〔 〕〔 〕 转换 到正 规 坐标 ， 则方 程化为 〔 〕 〔 〕〔 〕 〔 〕 〕 〔 〕 其 中 … ， ” ’ ， “ 一 ， 即 一 ， 二 … 、 而 式 的右端 是 〕 二 〔 〕 〔 〕 、 ，， ， … 。 故 该式 的任一 行可 以 写 成 ‘ 二 二 。 ， ， … ， 由于此 系统 的一阶频 率为 ， 其 它频率均不 为 ， 并设 初速度和 初位置 均为 故得系统 在正 规 坐标 中的 响应 … · 一 一 ‘ “ “ 一 黔 ‘ 。 一 产 ‘ 二 ， ， … ， 用 式 将 此 式变 回原 坐标 ， 即得 系 统 用原 坐标 表 示 的 响应 ， ， ， ’ ‘ · ‘ ， 飞 · ‘ 石夯 杜 一 歹 】 “ 一 ‘ ” ‘ ’ 川乏 ， ， 由于 二 ， 对应于 的特征 向量代 表刚休型运 动 ， 故 有 ， 系 代入 ， 求出各质量 的相对扭 转角为 。 ，。 将此关 十 一 一 乏 · ， ， 一 ， ， ， 。 。 ， 】 ‘ 一 “ ’ ，“ ， ， … ， 一 同理 ， 设 有冷头轧 件的 激力为 ， ， 则 当此 激 力作用 于 同一轧 机 系统 的 同一 部位时 ， 此 系统 各质量 产生 的 相对 扭 角为 ， ， 一 ‘ 乏‘ · ，， 一 一 。 ， 】 “ 一 “ ， “ ， ， … ， 一 式 和 还可 以 进 一 步用 初等 函 数表示 出来 。 我 们还 是只 写 出区 间 ， 内的 表达 式 。 把 中的积 分写成 函数表达 式 ， 则该 式变 为

--cX-XW[+血n“血p止 piti 1=2 (t≥t:)(i=1,2,…yn-1) (15) (1)中的积分，其函数表达式如同本文的式(6)。把(6)代入(14)，则该式变为 =∑(X1+1-X)D{1-6 1=2 +ò cosp(t-t:)+sinp (tt)-Binpt +-6-1 1+c2 (c(+(t p (t≥t1)(i=1,2,…,n-1) (16) 有了各个轴段的相对扭角，系统各个轴段的动应力便随之得到。 例题用四个弹忙轴串联的五个质量的扭振系统。各质量的转动惯量均为」。各轴段的 扭转弹簧系数分别为k:=0.2k,k2=k3=k,k4=2k。设激力作用在第5个质量上，其 咬入时间t1=10√J/k。求无冷头轧件激力(Mx=1)作川i下和有冷头轧件激力(c=0.5, 8=1.5)作用下各轴段的相对扭角。 解：此系统的质量矩阵(M)=J〔I),刚度矩阵是 0.2,-0.2 ,-0.9,1.2，-1 〔S)= -1,2,-1 -1,3,-2 -2,21 由频*方程求Up22=0.2022k月，p32=0.7933k/小，p,2=2.5895k/小，p52=1.8150k/月。 并求出 0.1772,0.86112,0.2369, 0.01575, 0.003662 0.477?,-0.009473,-0.70c8,-0.5466,-0.08450 1 (八N)=/行0.4772，-0.181507，-0.3332， 0.7504, 0.30474 0.4772,-0.31722,0.3007,0.1043, -0.77333 0.4772,-0.35293, 0.4984,-0.3538, 0.54944 把这些数据代入火(15)和(16)·就可得出各个轴段在两种不同激力作下的相对扭角。 我们讼出了各个轴段由【=10√J/k至40、J/k间的相对扭角（乘以弹簧常数k)的变化曲 线（图7a,b,c,d)。图中实线为有冷头轧件激力作用下的相对扭角（乘以k),虚线为 无冷头轧件激力作川下的情况。各条曲线所达到的最大值分别为 第一轴段 第二轴段 第三轴段 第四轴段 有冷头轧件激力作 2.113 0.861 1.087 0.652 无冷头轧件激力作川 1.429 0.574 0.742 0.454 123

， 一 艺‘ “ ’ ‘ ” 】 一 一 ，尝叮咎 一 〔 · 一 一 ， 〕 七 “ 中的积 分 ， 其 函 数 表达 式女 同 本文 的式 。 ， … ， 一 把 代 入 则该 式 变为 · ，十 ， 一 、 宣 ， ， 一 ， 一 考号 卜 一 。 ， 卜 、 厂 ， 二 ‘ 、 卜 ， 一 。 一 昌 气 一 一 十 门 － 一 一一－一 ’ ‘ 、吸 己 一 门 －二 ， 二 、 一 ‘ 、 ‘ 一 ‘ 一 一 、 二 一 ， 一 ， 】 七 ， ， 夕， … ， 一 有 了各个轴 段 的 相 对扭 角 ， 系统 各个轴 段 的 动应 力便 随 之得 到 。 例 题 用 四 个弹性 轴 串取 的五个质 量 的扭 振 系统 。 各质 量 的 转 动惯量 均 为 。 各轴 段 的 扭 转 弹 簧系数 分 别为 ， 二 ， ‘ 二 。 设 激 力作川 在 第 个质量 上 ， 其 咬 入 时 间 了 。 求无 冷头轧件激 力 作 用下 和 有冷头轧 件激 力 。 ， 乙 作用 下 各轴 段 的 相 对 扭 角 。 解 此 系统 的质量 矩 阵 〔 〕 〔 〕 ， 刚度 矩阵 是 ， 一 一 竺， 〔 〕 ， 一 一 ， 一 一 由频 率方 程求 出 “ ， 。 么 ， ‘ “ ， 。 ’ 二 。 并求 出 、 二 斌 二 了 ， ， ， 一 ， 一 二 ， ， 一 ， 一 ， 左了 ， 一 ， ， ， 一 ， 理， 一 ， ， 一 ， 一 一 把这 些数 据 代 入 大 和 。 就 可 得 出 各个轴 段 在 两 种不 同 激 力作 用下 的 相 对 扭 角 。 我们绘 出 了 各个轴 段 由 训 至 、 问的 相 对 扭 角 乘 以 弹 簧常数 的 变 化 曲 线 图 ， ， ， 。 图 中实线 为有冷 头轧 件激 力作用下 的 相对 扭 角 乘 以 ， 虚 线为 无 冷头轧件 激力作川 下 的情 况 。 各条 曲线所 达 到 的最大 值 分别 为 第一 轴 段 有冷头轧件激 力作 川 无冷头轧件激 力作 川 理 第二 轴段 第三 轴 段 第 四 轴段

因此有冷头轧件激力与无冷头轧件激力产生的最大动应力之比分别为：第一轴段一1.479， 第二轴段-一1.5；第三轴段一1.465；第四轴段一1.436。 (x-x)kl 1.5 0.5 0 : 图7a'第一轴段的相对扭角乘以k (x3-x2)k 0.5 10 20 30 图7b第二轴段的相对扭角乘以k (x4-x,) 0.5 10 20 30 401 图7C第三轴段的相对扭目乘以k (x1-a)上 0.5 0 10 20 30 布 图7d第四轴段的相对扭角乘以k 参考文献 (l)S.Timoshenko,D.H.Yang,W.Weaver著，胡人礼译，工程中的振动问题， 4版，1978 124

因此有冷头轧件激 力与无 冷头轧件激力产生 的最 大动应力之 比分别为 第一 轴段 第二 轴段 － － 第三 轴段－ ， 第 四 轴 段－ 。 又 一 图 ‘ 第 一 轴 段 的相对 扭角乘 以 · ‘ 声 、 心 、 ， 尸心 侧沪 访 一一 万矿 一一 筋 丫孚 图 第二 轴 段 的相对 扭 角乘 以 ‘ 一 。 讨一一一扇尸一一丫布一一一谕 袱万 图 。 第 三 轴 段 的相对扭 目乘 以 笼 一 蕊 飞 七，汾 才一一不犷一一写 一 南 丫争 图 第 四 轴 段 的相对 扭 角乘 以 参考 文献 〕 ， ， 著 ， 胡人礼译 ， 工 程 中的振 动 问题 ， 版