D0I:10.13374/i.issn1001053x.1989.05.019 北京科技大学学报 第11卷第5期 Vol,11 No.5 1989年9月 Journal of Cniversity of Science and Technolog:Beijing Sept.1989 圆口喷射器惴流流场数学模型 及其最优设计 郭鸿志 (热能工程系) 摘要：本文根据湍泷射流和斋流边界层理论对圆喷嘴喷射器混介段淄诚流场进行了 研究，应用宙诺方程准导出喷射器混合段的基本方程和动量积分方程，用数学模型研究了喷 射燃烧器，并对喷射器提出了一套最优设计公式。 关健词：基本方程，动址积分方程，喷射器最优设计 Mathematical Model of Turbulent Velocity Feild in the Round Injector and Its Optimal Design Guo Hongzhi ABSTRACT:In this work,based on theory of the turbulent jet and the turbulent boundary layers,the turbulent fluctuation properties in the mixing section of the round injector have been researched.From Reynolds equations the basic cquations and the momentum integrating equation of turbulent flow field to cylindrical coordinates in the round injector have been presented.The approach of designing the optimal injector has been developed,and the formula of the optimal designing of the injector have been put forward. KEY WORDS:basic equation,momentum integrating equation,designing the optimal injector 在设计喷射式燃烧器、喷射排烟机以及各种用途的喷射器热工设备与装置时，应用数学 模型，结合物料的热物性、化学组份及其它行关参数对这些设备与装置内的湍流流动、燃烧 1987-04-28收腐 406
第 卷第 期 年 月 北 京 科 技 大 少 学 学 报 少 。 圆 口 喷射器 湍流流场数学模型 及其最优设计 享卜 鸿 志 了沪 热 能 工 程 系 摘 要 本 文 恨据 湍 流射流 和 湍流边 界层 理 论 对 圆喷 嘴喷 射 器 昆合段 湍 流流场 进 行 了 研 究 ， 应 用雷 诺 方程 推 导 出喷 射器 混 合段 的墓 本 方程 和 动 量 积 分 方程 ， 川 数 学模型 研 究 了喷 射 燃烧器 ， 并对 喷 射 器 提 出 了一 套最 优设 计公 式 。 关 镇 词 旅本 方程 ，动 呈积分 方程 ，喷 射 器 最 优设 计 ” 之 认 ， 少 ， ， 、 。 沪 产 少 · ， 、 · ， 以 ， 在 设计喷 射式燃烧器 模 型 ， 结 合物 料 的热物 性 喷 时排烟 机以及 各种用途 的喷射器 热 工设 备与装置时 ， 应用数 学 化学 组 份 及其它 有 关参数 对 这些 设备 与装 置 内的湍流流动 、 燃 烧 一 。 一 收 稿 产 DOI ：10．13374／j ．issn1001－053x．1989．05．019
及传热进行深人研究分析计算，从而进行最优化设计以达到高效率与节能的目的，这是热工 工作者长期以来追求的目标。 本文对圆口喷射器湍流流场特征进行了研究，建立了圆柱坐标下喷射器湍流流场的基本 方程和动量积分方程，进而推导出喷射器最佳设计计算公式，这在理论上和实际应用中都有 重要意义。 1喷射器湍流流场数学模型 喷射器湍流流场特别是初始段极为复杂，它由射流搀混层，圆管边界层及势流流场组 成。湍流流场的Navier一Stokes方程是： 2-7B*F+日w--n (1) 喷射器圆孔喷嘴出流速度小于60m/s,于是可以忽略压缩性，则(1)式中散度又，立= 0,于是，对于不可压缩、稳定流，雷诺方程简化为 p7.7F=-又p+uV2.F-7n (2) 其中Ⅱ为湍流应力张量 -pu'u -pu'v! -pu'w′ I=t:x -pu'uT -pu'vi -puw! (3) txTr -pw'u! -pw'v! 一p西‘地/ 喷射器初始段二维湍流雷诺方程为： 股+-合2+片(+÷肥+)-( p dx +0uo1 u'o7） (4) + =-12+(02 p dr p（0r+ 的-+) r dr -(+的+阿) dr (5) 在湍流边界层层流底层内，“》v,r》x’则 股+-名器+片，() “ax+ p dx (6) 407
及传热 进 行深人 研究 分析计算 ， 从 而 进行最优 化设计 以达 到高效率 与节能 的 目的 ， 这 是热 工 工作 者 长 期以来 追 求 的 目标 。 本 文 对圆 口 喷射器 湍流流场特征进行 了研究 ， 建 立 了圆柱 坐标 下 喷射器 湍流流场 的基 本 方程和 动 量积 分方 程 ， 进而 推导 出喷射器 最佳设计 计算 公式 ， 这 在 理论 上和 实际 应用 中都 有 重要 意义 。 喷射器湍流流场数学模型 喷射器湍流流场 特 ‘ 别 是 初 始 段 极为 复杂 ， 它 由射流搀混 层 ， 圆 管边 界层及势流流场 组 成 。 湍流流场 的 一 方程是 刀 犷 刀 ， 井 吮 、 二 一 丫 环丫 ‘ ’ 几厂 拼 仁丫 厂 一 ， 口 喷射器 圆孔喷嘴出流 速度小 于 ， 于 是 可 以 忽略 压 缩 性 ， 。 ， 于是 ， 对于 不可压缩 、 稳定流 ， 雷诺方程 简化为 则 式 中散度 二 ‘ 甲 犷 二 一 甲 拌 甲 “ · 一 甲 · 其 中汀为湍流 应力张量 、 少 夕 」 一 叮 口了丁口 丁 口 一 火了 。 丁 一 “ ， “ 一 ， 一 “ ， 一 产 一 ， 一 户却 ， 一 户 ‘ 脚 一 产 却 一 尹 切 产 喷射器 初始 段二 维湍流雷 诺方程 为 一 口 一 口 翻 下了 口厂 合碧 告 鲁 而 合辛 合 豁 十 口“ 口 不 一 十 一五 厂 工下‘ 产 ‘ 、 旦亚劣 一 口 口 ‘ 口 口 口 万 口 口义 ， 刀 十 － 一 在湍流 边界层 层流底 层 内 ， 。 》 。 ， 口 口 》 百牙 口 口 “ 而 十 万刃 口 口 拼 口 口 、 十 － 一、 一 不 一
i 诉三0 (7) 在湍流边界层及喷射器内门圆孔喷嘴喷出射流与圆管内气流形成的湍流搀混层内，“》 v,0!⑦r>1x,且湍流切应力比层流的大得多，则(4)、（⑤）式进一步简化为 股股-〔9g+g] dx r p ix (8) 12:-,可 d- p dr (9) 积分(9)式代人(8)式，按各向同性湍流度学说，uu='v'。湍流切应力t:x=tx:= pu'v',时均速度4，v不再加杠，经整理可得喷射器初始段基本方程为 du 9君器+片(0)+(…) “x+var=- (10) d(ru)+0(rv) 0x of=0 (11) 将(10)式各项遍乘pr,自r=0至r=R积分并整理可得 0 rdr-owrir=合Rg股-R, dx (12) 其中Ⅱ是主流速度，π。为喷射器圆简壁面切应力。根据主流中伯努利方程微分形式： 8股-p1n股 两个函数乘积对x微分： a〔ourd〕-Jopurdr+㎡ourdr 代人(12)式，并整理可得喷射器初始段动量积分方程为 d R Pd×Jo (U-)rdr+PaxJ。u(I-u)rdr=Rro (13) 喷射器初始段速度分布很复杂，如图1所示。其表达式为： u=U r∈(0，r,) 六-〔1-() r∈〔r1,r2J 1u=I2 r∈(r:,R-6) r∈〔R-8,R) 408
如 一︹ 一 在湍 流 边 界层及喷射器 内 门圆孔 喷嘴喷 出 射流 与圆 管内气流 形 成 的湍 流 搀混 层 内 ， “ 》 。 ， 口 口 》 口 行 ， 且湍流 切应 力比 层流 的大 得 多 ， 则 、 式 进 一 步简化 为 ︸一 产、 、、、声产、户、 、、 补 了气了、 、 一 口 一‘产、一矛、 。 材 一 一 ， 贬 劣 。 “ 二 口左 厂 而 ‘ ， 月 ‘ 口劣 一 华 。 ‘不刃 口 工 户声 一’ 刁 介一 积 分 式代入 式 ， 按 各向 性湍流 度学说 ， 石下矛 二 勺 ‘ 。 湍 流 切 应 力 二 “ ‘ 。 ‘ ， 时 均 速 度“ ， 不再加 杠 ， 经 整理 可 得喷射器 初始段 基 本方程 为 厂口。 “ 万 竺， 刀 三 二 一 －尸 护 口 娜 口 ， 口 万 ， 而于气 苏 少 口 ， 万下 叹 · 旦奥 恤甲’ 。 口 二 口 将 式 各项遍乘阿 ， 自 二 至 ， 二 积分 并整理 可 得 生【 二 户“ ‘ 一 石 ， 。 “ 二 石一 八 一 万二了 一 “ 。 ‘ 七通 、 其 中汀是 主流 速 度 ， 。 为喷 射器 圆筒壁 面 切应 力 。 万 一 两个 函数 乘 积 对 微 分 根据主流 中伯 努利方程 微 分形式 产 「 万二 人 、 、 ， 、 “ 万万 尸尸 西 、 “ · 。 撷 代入 式 ， 并整理 可得喷 射器 初始 段 动 兹积 分 方程为 瓢 。 一 · 击 · 。刹 “ 一 “ 二 。 喷射器 初始 段 速 度 分布 很 复 杂 ， 如 图 所 示 。 少七表 达 式 为 产、， 尸、 。 刀 止二 一 二 」万 ‘ 一 “ 二 任 ， 〔 二二了 ， 、 一 任 〔 ， 〕 云 ， 一 的 今二 “ ’ 云 〔 一 占 ， 〕
其中r,为湍流搀混层内边界，R-6为边界层外 缘，δ为边界层厚度，当6=R即边界层到达 中心线时，初始段或混合段结束。 喷射器初始段诸参数如图2所示。喷嘴、 初始段始未端直径分别为d,d2,da;相应 的速度分别为"？；0a:压力p1,p:,Ps: 图1喷射器初始段速度分布 质量流量1·m·ms。取控制体如图示，x Fig.1 Velocity distribution in the 向动量方程： initial section of injector R2 p,2xrdr-πdlgr (15) 其中x,可以由(13)式求出，工程上可使用公式 t4=(18)2pU2 然后修正。又射流势核速度41=IⅡ：，认为卷吸速度“，=I2,而 J。psv2xrdr=peu号πR号B =山，(1-R）”2xr= 6013 B=7()(1-R）2mrr=8 48 代入(15)式，经整理可得 ps-p:=(1/A3)(mv+m2v2-m3va)-A(13/ds).(p2)v3 (16) H 元323 m11P1/ 图2唢射器基本原理 Fig.2 Basic principle of the injector 喷射器结构如图3所示。列扩张段与收缩段伯努利方程并代入(16)式经整理可得带扩张 段与完整喷射方程分别为： p4-p,=(1A3)(m101+m2v2-m30g+7K（p3/2)U3 (17) 409
、 其 中 ，为湍流搀混 层 内边 界 ， 一 占为边 界层外 缘 ， 占为 边 界 层 厚 度 ， 当 二 即 边 界层 到 达 中心 线时 ， 初始 段或 混合段结 束 。 喷射器 初始 段诸参数如 图 所 示 。 喷嘴 、 初始 段始 末端 直 径 分别 为 ，， ， 相 应 的速度 分别 为 ，， 图 喷 射 器 初始 段速度 分 布 质量流量 。 向动量 方程 护，笼 忍 ， 。 压力 ， ， ， 。 。 取控制 体如 图示 ， 二 ， ， 二 · 犷 ， 二 · 一 汀 ， 一 汀 丁 。 气 。 · 二 ， 一 ， 川 二 一 夕 “ 二乙汀 悦 一 其 中 。 可 以 由 式求 出 ， 工程上 可使 用 公式 丁 。 厂 久 然后修正 。 又射流势核速 度。 ， 二 万 ， ， 认 为 卷吸速 度 。 ， 而 毗 “ 犷 。 嵘 二 置声 热 “ 初习 。 又 一 、 刃少 ‘ 犷 二 器 “ 街 纷 卜 渝 ’ 二 一 错 代 入 式 ， 经整理可得 夕。 一 户 “ 从 ，“ ， 胡 。 一 切 。 一 只 · 「 呈 州 ” 鉴丁二司 竺呈望边七 ，口口 坠空子 丘 侧 七 图 喷 射器 墓 本原理 喷射器 结构如 图 所 示 。 列扩张 段 与收 缩 段伯 努利 方程 并代入 式 经整 理 可 得 带扩张 段与完整喷射方 程 分别 为 一 胡 刀 阴 一 州 口 刀 户 、 、 ‘
P4-Pg=(1/A3)(n1v1+mzU2-m3g)+x(pg2)U3-(1+k2)(p/2)v2 (18) 其中 9K=1-(A3/A4)2-k3-2.(11/d3) (19) 0.6m 0 3 0.4 1三 0.2 0 Contraction Mixing Enlarging -0.2 section section section .0 1.5 2.0 d./da 图3喷射器的结构 图4ne-d4/13曲线 Fig.3 Injector structure Fig.4 nk-d/d3 curve 刀k为混合段与扩张段总能量损失系数，nk与d4/dg的光系曲线如图4所示。当d,=d3时， 7k=-0.15,没有增压，反而耗压。 喷射器的效率 Q2(P4-Po) 0,〔p-(pp)〕 (20) 2喷射器最优设计分析 喷射器最优设计的目的在于获得佳效率。由(20)式知，任体积流量比Q2/Q,和喷嘴 动头Pv/2一定条件下，压力差(p:-p。)愈大则喷射效率n越大。为此，必须选择最佳尺 寸。变量太多，不好分析，为减少参量个数，引川无量纲参业【1」： m2/m1=n,Q2/Q,=,则mg/m,=n+1,Q/Q:=m+1, P21p1=n/m,p31p,=(n+1)/(m+1);A3/A=中，A/A2=p, 则v2v1=mgpf中，va/v,=(m+1)/。 (21) 于是，质量流量m1,m2,m；体积流tQ1’Q2,Q33密度p1,P2,p3；速度v1,v2, v,;面积A,A2,A3等15个变量可用4个变量表示。将上式分别代入(17)、(18)式，经整 理可得 p,-p2=(1/2)p1vC(2/中)+2mmp/φ2-(2-7k)(n+1)(m+1)12) (22) 410
‘ 一 。 二 月 ， ， ，，‘ 一 ，产‘ “ ， 。 一 寿 户 其 中 叼 一 ‘ 一 。 一 只 才 仪 户 卜二二工二一件 ‘ 口口口一 止二二土一二二一 ，门 一 一 尸 尸一 图 喷 射 器 的 结 构 图 刀 ‘ 一 办 召 曲 线 刀 一 ‘ 刀 为混合 段 与扩张段 总 能量 损失 系数 ， ， 与 ‘ 。 的笋 系曲线 如 图 所示 。 当 二 时 ， 叭 二 一 。 · ， 没有增压 ， 反而 耗压 。 喷射器 的效率 ‘ 一 。 专 。 · ‘ 一 ， 一 ， ， 〕 产﹄ 习 一 一 喷射器瑕优设计分析 喷射器 最优 设 计 的 目的 在于获 得 最佳效率 。 山 式 可知 ， 在 体 积流缺 比 和 喷嘴 动头 』川 一定条件 下 ， 压 力差 ‘ 一 。 愈大 则喷 射效 率 刀越 大 。 为 此 ， 必 须 选 择 最 佳 尺 寸 。 变量 太 多 ， 不好 分析 ， 为减 少参 量个数 ， 引 用 无 量 纲参址 【 ‘ 〕 ， 阴 ， ， ， 二 。 ， 贝 。 。 ， 二 儿 ， 。 二 ， ， “ ， 立 ” 二 功 ， 切 ， 则 “ 二 沉 · 甲 诱 ， “ 。 ， 。 功 。 … 于 是 ， 质量流量 。 ， 。 ， 。 。 体 积流 吸 ， ， 。 密 度 ，， ， 。 速 度 ， ， 。 面 积 ， ， 等 个 变量 ，丁川 个 变虽 农示 。 将上 式 分另 代 入 、 式 ， 经 整 理 可得 一 〔 必 ” · 切 功 一 一 ，‘ 。 。 功 〕
p4-P。=(12)p,v2C(2/)+2mnp/2-(2-刀x)(n+1)(m+1)/2 -(1+k2)mnp2/中2) (23) 上述表明，压差与喷嘴动头(1/2)ρ，？成正比。在设计喷射器特别是设计喷射式烧嘴 时，m,n是根据燃料燃烧条件决定，当喷射比m,n一定时，喷射器最佳效率主要取决于结 构尺寸中，g。为求几何尺寸的最佳值中。P,p。P,首先对式(23)求导，并令其等于0，化 简得 中opt=(2-刀x)(n+1)(m+1)-2mng+(1+k:)mrp2 go:=1/(1+3) (24) 代入上式可得 pop:=(2-刀r)(m+1)(n+1)-mn/(1+k2) (25) 代人(22)、(23)和(20)式可得 p:-=6(1+ma8）合ni (26) 4-p。=(1bot)(12)p1v号 (27) 7opt=m(pop:-州n(pot中o2:)-1) (28) 3喷射器最优设计方法 喷射器在治金生产中，通常用作排烟机和无焰喷射式燃烧器。以排烟机为例，说明喷射 器最优设计步骤。例如某加热炉排烟量为9000Nm3h,废气出烟囱温度为400°C,其密度 为p02=1.28kg/m8,烟道阻力为147N/m2,喷射用风压机压力为1470N/m2。设计最佳喷射 器，其步骤是： (1)计算最佳喷射断面积比pot,Pot Popt=1/(1+k2) k=0.2~0,3 11 o=p-po20u v,=√2C(H+(p4-p)门/p1 则 opt=1+(H./△p) (29) 其中H.为风压，△p为烟道阻力，代人已知数据，得v1=51,9m/s、popt=11。 (2)确定质量流量与体积流量喷射比m,n n/m=palp ,(2-刀x)(m+1)(t+1)-mn/(1+2)=中opt (30) 411
刀 一 刀。 二 ， ，。 〔 诱 。 华 ，功 “ 一 一 ，二 。 。 功 一 。 沪 “ 功 “ 〕 上述表 明 ， 压差 与喷嘴动头 时 成正 比 。 时 ， ， ， 。 是 根 据燃料燃烧 条件决 定 ， 当喷射 比 ， 构尺寸 功 ， 犷 。 为 求几 何尺 寸 的最佳值功 。 、 ， 简得 切 在设计喷射器 特别 是 设 计 喷射 式烧嘴 一定 时 ， 喷射器 最 佳效率主 要 取决于绪 首先对式 求 导 ， 并令 其 等于 。 ， 化 功 。 、 一 口 ， 山 舰 一 二 ， 甲 ， 切 切 。 “ 上 及 代 入 上式 可得 必 。 、 二 一 刀 一 。 ‘ 。 代入 、 和 式可得 二 少 。 、 ‘ 一 尸 二 下万 一一 气 十 一又 一 ， 石一 脚 岁 ， ‘ 了〕 、 一 。 二 ‘ 诱 。 。 ， ， 户 ，“ 了 刀 。 七 二 翔 诱 。 ‘ 一 二 。 切 。 。 ， ，功 。 ， 一 一 ’ 喷射器最优设计方法 喷射器 在冶 金生 产 中 ， 通 常用作 排烟机和 无 焰 啧 射式燃烧器 。 以排烟机 为例 ， 说 明喷射 器 最 优设计 步骤 。 例如某加热炉 排烟量 为 了 ， 废 气 出烟 囱温 度为 “ ， 其 密 度 为 “ ， 烟 道 阻 力为 “ ， 喷射用 风 压机 压 力为 “ 。 设 计最 佳喷 舫 器 ， 其步骤 是 计算 最佳啧射断 面 积 比功 。 、 ， 切 。 、 切 。 ， 了 秃 。 。 诱 。 ， 万一，万万 一万 尸 一 尸 自 二 了 〔 一 。 〕 则 功 。 七 。 △ 其 中 为风压 ， △ 为烟道阻 力 ， 代人 已知数据 ， 得 二 、 咖 、 。 确定质量流量 与 体 积流 量喷射 比 ， 厂 ， 一 刀 一 。 二 功 。
取7。=0.5，k2=0.2,将已知数据代入，算得m=3.11、n=1.35 (3)确定最佳尺寸 /4Q02P02 dnpi d3=d,p:2 d2=d1v/(1+k2)oont d,=2d,d=1.d3d12d(d-deto2 其中d。为收缩段入口直径，d4为扩张段出口直径，L·工3，L分别为收缩段，混合段，扩张 段长度，a为扩张角取8°，代人已知数据，d。=1.459m、d,=0,220m,d2=0.800m,d3= 0.730m,d4=1.094m,L,=1.459m,L3=2,190m,L4=2.607n。图5是所设计的喷射 器简图。 1.54十2,19 -2.607 5最佳喷射器结构 Fig.5 The optical injector structure (4)敏佳喷射效率与抽力计算 应用(26)、(27)和(28)式，计算得最大抽力(p,-p。)=147.0N'm.(p4-p:)=193.6 N/m2,7opt=32.12%。 喷射比n值是设计喷射器的关键数值。但设计喷射器时质量流量m,是未知数。传统的设 计方法是根据经验预选质量喷射比n=m2/m,的初值，然后反复试算，这给设计造成很大困 难和麻烦。按最佳设计方法喷射比可以直接求出，这给设讣带来很大方便，而且唢射效率最 高，又节约能耗。实验表明，当n取1.05时，提高效率2%，n=2时，提高6,16。 4结 语 (1)根据褂流射流1湍流边界层理论，又应用雷诺疗程推导出喷射器混合段的基本方程 式(10)和动量积分方程式(13)。仁理论上行重要意义，为用数值计算方法研究唢射式燃烧器 流场的三传提供了依据。 (2)采用本文提出的公式，质量唢射比n值和唢射质量流量m,可以直接求出，方法极为 简便。进行喷射器最优设计，节能效果明显，喷射效率收佳，让算简便准确，咐射器结构紧 凑合理且节省原材料。因此，本文提出的公式有实际应用价值。 参考文献 1张玉明，郭鸿志.工程流体力学，下册，北京钢铁学院印刷，1985：147~157 412
取刀 ， 二 ， 将 已知数 据代入 ， 算 得。 二 ， 。 一 。 确定最 佳尺 一 寸 。 。 汀 户 了 一 二 ， 功 二 、 必 。 ， 。 ， ‘ · · ‘ 二 。 ， ‘ 二 ， “ 二 一 合 一 一 。 着 其 中 。 为收缩段入 口 直径 ， 为扩张 段 出 直径 ， ， ， 分别 为收缩段 ， 混 合段 ， 扩 张 段长 度 ， 为扩张 角取 “ ， 代入 已知数 据 ， 。 ， ， ， 二 ， ， ‘ ， ， 。 ， 。 二 ， “ 了 。 图 是 所 设 计 的喷射 器 简图 。 最佳喷 射 器 结 构 最 佳喷 射效 率 与抽 力计算 应 用 、 和 式 ， 计算 得 最 大抽 力 一 。 二 ‘ 一 ’ ， 叮 。 。 二 。 端 。 喷 射比 。 值 是 设 计喷射器 的 关键 数 值 。 但 设 计喷 射器 时 质量 流最 。 是 末 知数 。 传统 的设 计 方 法是 根 据 经验 预选 质量喷 射 比 。 。 ， 的初值 ， 然后 反 复试算 ， 这 给 设 计造 成很大 困 难和麻烦 。 按 最佳设 计方 法喷射 比 可 以直接 求 出 ， 这 给 设计带 来 很大 方 便 ， 而 且喷 射效 率 最 高 ， 又节 约 能耗 。 实验表 明 ， 当 。 取 时 ， 提高 效 率 ， 。 二 时 ， 提高 。 结 语 根据湍流 射流 和 湍流 边界层 理 论 ， 又 应 用雷 诺 方程推 导出喷射器 混 合段 的墓 本 方 程 式 和 动 录积分 方 程式 。 在理 论 上 有 重 要 音义 ， 为 门数 直计算 方 法研究 喷 射式燃 烧 器 流 场 的三 传提 供 了依 据 。 采 「本文提 出的公 式 ， 质量 喷射 比 。 值 和 喷 射质 欣流 曦。 ，可 以 直接 求 出 ， 方 法极 为 简便 。 进行 喷 射器 址 优 设 计 ， 节 能效 果 明 显 ， 喷 射效 率址佳 ， 计算简便 准 确 ， 喷 射器 结 构 紧 凑合 理 且节省 原材料 。 囚此 ， 木 文提 出的公式 有 实际 应 川 价值 。 参 考 文 献 张玉 明 ， 郸鸿 志 工程流 体 力学 ， 下册 ， 北 京钢铁学 院 印刷 ， 一
