张吴等：无人软翼飞行器直线航迹跟踪鲁棒反步控制 ·1787· 店=--2+y.(r+ei.+5n 式中， ye y。 [f.=mztr-X.u-Xulul +d., (25) (mu -mz)-N,r-N,mrlrl +d,. 对式(25)进行简化，令 其中，k。kk,和k为控制器参数，「为鲁棒补偿项. 2=.+. 控制器中增加了积分项以提高系统在外界干扰条件下 将误差模型式(12)中的氵.代入式(25)得 的鲁棒性.将式(34)代入UPV动力学模型式(2)可得 -6+y吸+6我) 误差系统 「u.=-k.u.-kme1, (26) (35) r=-k,re -kne2-reo 进一步根据少。=中。-α和式(21)整理式(26)得 式中，u。=u-“e V.=-ky+ 定义81=u。,82=r,则有81=i,2=i,式(35) 可表示为 [81=-ke1-k, (36) y。 82=-k,82-kn82-To -62+项r+6.低-6)+号l 进一步定义 E=81e2]T,e=[E182]T,E=[eE]T, 则式(36)可表示为 E=AE +BU. (37) (27) 式中， 式中，c1与y均为设计参数.不妨取y=1/c,并将其 代入式(27)，消去部分复杂非线性项，得到 -+r成+nw】 足小--小 (28) K1=diag{-ka’-kn},K。=diag{-k,-k,}. 此时如果设计偏航角速度虚拟控制量为 由上述设计步骤可见，本文对传统反步控制方法 进行了改进，通过合理设计增益参数，消除了控制器中 ra=-c中。-c1.4 (29) 部分复杂非线性项，在保证系统的稳定性和跟踪精度 可以保证 的同时，简化了控制器形式，更有利于工程实现，设计 立=-k-cy≤0. (30) 的反馈补偿项能够提高系统的鲁棒性. 但由虚拟控制量式(29)可以看出，控制量形式较为复 2.2鲁棒稳定性分析 杂，不利于后续控制器设计，因此本文基于可变增益的 定理考虑UPV横侧向模型式(1)、式(2)和运 思想，将虚拟控制量重新定义为 动误差模型式(12)，及期望分段直线航迹式(3)，设计 ra=-C2ψ。 (31) 控制器式(34)，鲁棒补偿项式(41)，则闭环系统稳定， 将上式代入式(28)可得 且系统误差变量一致最终有界，并按指数收敛到原点 立.=-k2-k:+y.c (32) 的一个充分小的邻域内. 式中， 证明：定义Lyapunov函数 -告装) 片=g+EpE (38) re=r-ra. 式中，正定对称阵P为线性Lyapunov方程的解. 通过设计控制器参数c1与c2,使得c2>c,"。,从而k,> A'P+PA=-0, (39) 0条件成立.m为速度上界，体现了可变增益思想 进一步可得 -61 2=-kx2-k2y2-k+y中r(33) 式中，对称阵P:=diag{paPa},i=1,2,若选取P= 综上所述，由UPV动力学模型式(2)可推导航迹 KP2,可得 跟踪控制器为 r001 「F.=mu（-k.u。-kue1+ie）-f, (34) 0=02KP F,=ma（-k,re-kn2+ie-rn）-f 对式(38)求导并将式(33)代入得张 昊等: 无人软翼飞行器直线航迹跟踪鲁棒反步控制 V · 2 = － k1 x 2 e － k2 y 2 e + γ ψe ( r + c1 y · e + vn γ sinψe ψe ye ) ( 25) 对式( 25) 进行简化，令 V · 2 = V · xe + V · ye，ψe ， 将误差模型式( 12) 中的 y · e 代入式( 25) 得 V · ye，ψe = － k2 y 2 e + γ ψe ( r + c1 vn sinψe + vn γ sinψe ψe ye ) ． ( 26) 进一步根据 ψe = ψe － α 和式( 21) 整理式( 26) 得 V · ye，ψe = － k2 y 2 e + γ ψe [ r + c1 vn sinψe ψe ( ψe + c1 ye － c1 ye ) + vn γ sinψe ψe ye ] = － k2 y 2 e + γ ψe [ r + c1 vn sinψe ψe ( ψe－ α1 － c1 ye ) + vn γ sinψe ψe ye ] = － k2 y 2 e + γ ψe [ r + c1 vn sinψe ψe ( ψe － c1 ye ) + vn γ sinψe ψe ye ] = － k2 y 2 e + γ ψe [ r + c1 vn sinψe ψe ψe ( + 1 γ － c ) 2 1 vn sinψe ψe ye ] ． ( 27) 式中，c1 与 γ 均为设计参数． 不妨取 γ = 1 /c 2 1，并将其 代入式( 27) ，消去部分复杂非线性项，得到 V · ye，ψe = － k2 y 2 e + γ ψe ( r + c1 vn sinψe ψe ψe ) ． ( 28) 此时如果设计偏航角速度虚拟控制量为 rd = － c2ψe － c1 vn sinψe ψe ψe ． ( 29) 可以保证 V · ye，ψe = － k2 y 2 e － c2γ ψ2 e≤0． ( 30) 但由虚拟控制量式( 29) 可以看出，控制量形式较为复 杂，不利于后续控制器设计，因此本文基于可变增益的 思想，将虚拟控制量重新定义为 rd = － c2ψe ． ( 31) 将上式代入式( 28) 可得 V · ye，ψe = － k2 y 2 e － k3ψ2 e + γ ψe re ． ( 32) 式中， k3 = c2γ ( 1 － c1 vn c2 sinψe ψ ) e ， re = r － rd ． 通过设计控制器参数 c1 与 c2，使得 c2 ＞ c1 vm，从而 k3 ＞ 0 条件成立． vm 为速度上界，体现了可变增益思想． 进一步可得 V · 2 = － k1 x 2 e － k2 y 2 e － k3ψ2 e + γ ψe re ． ( 33) 综上所述，由 UPV 动力学模型式( 2) 可推导航迹 跟踪控制器为 Fu = m11 ( － ku ue － kuiε1 + u · c ) － fu， Fr = m33 ( － kr re － kriε2 + r · c － rco ) － fr { ． ( 34) 式中， fu = m22 vr － Xu u － Xu | u | u | u | + du， fr = ( m11 － m22 ) － Nr r － Nr|r| r| r| + dr { ． 其中，ku、kui、kr 和 kri为控制器参数，rco为鲁棒补偿项． 控制器中增加了积分项以提高系统在外界干扰条件下 的鲁棒性． 将式( 34) 代入 UPV 动力学模型式( 2) 可得 误差系统 u · e = － ku ue － kuiε1， r · e = － kr re － kriε2 － rco { ． ( 35) 式中，ue = u － uc ． 定义 ε · 1 = ue，ε · 2 = re，则有 ε ·· 1 = u · e，ε ·· 2 = r · e，式( 35) 可表示为 ε ·· 1 = － kuε · 1 － kuiε1， ε ·· 2 = － krε · 2 － kriε2 － rco { ． ( 36) 进一步定义 ε =［ε1 ε2］T ，ε · =［ε · 1 ε · 2］T ，E =［ε T ε ·T ］T ， 则式( 36) 可表示为 E · = AE + BU． ( 37) 式中， A = 0 I2 × 2 [ ] － KI2 × 2 － KP2 × 2 ，B = 0 [ ] I2 × 2 ，U = 0 [ ] － rco ， KI = diag{ － kui，－ kri} ，Kp = diag{ － ku，－ kr } ． 由上述设计步骤可见，本文对传统反步控制方法 进行了改进，通过合理设计增益参数，消除了控制器中 部分复杂非线性项，在保证系统的稳定性和跟踪精度 的同时，简化了控制器形式，更有利于工程实现，设计 的反馈补偿项能够提高系统的鲁棒性． 2. 2 鲁棒稳定性分析 定理 考虑 UPV 横侧向模型式( 1) 、式( 2) 和运 动误差模型式( 12) ，及期望分段直线航迹式( 3) ，设计 控制器式( 34) ，鲁棒补偿项式( 41) ，则闭环系统稳定， 且系统误差变量一致最终有界，并按指数收敛到原点 的一个充分小的邻域内． 证明: 定义 Lyapunov 函数 V3 = V2 + 1 2 ET PE． ( 38) 式中，正定对称阵 P 为线性 Lyapunov 方程的解． AT P + PA = － Q， ( 39) P = P1 0 [ ] 0 P2 ． 式中，对称阵Pi = diag { pi1，pi2 } ，i = 1，2，若选取 P1 = KIP2，可得 Q = 0 0 [ ] 0 2 KI P2 ． 对式( 38) 求导并将式( 33) 代入得 ·1787·