第五届力学课程报告论坛论文—一力学基础知识体系的现有学习、研究与教学体会 业基础路径提供了适合的数学思想及方法。在此我们也特别指出,一般教学教程或专著的所 载的数学思想及方法往往不能直接适用于力学或者物理研究,由此需要我们结合实际问题寻 找合适的数学,包括以恰当的方式理解甚至建立数学定义,将相关数学思想及方法充分联系 与实际研究。以下我们就连续介质的有限变形理论进行概要性说明。 21映照观点 x(5,7,,) 叶片间流动区域 参数区域 旋转轴边界可作有限变形运动) (边界始终固定) (a) D=中(x)gg8g(x,) 参数区域 曲线、区() =(x,)g8g8g(x) x”一曲线 82(= x2-曲线 x”-曲线 (x5) x∠曲线 x2-曲线 物理区域 g。(x,r) 曲线坐标X=X(x,) 图5映照观点示意图:(a)将几何不规则区域微分同胚至几何规则区域;(b)基于曲线坐 标系的局部基展开张量 物理空间中连续介质的几何形态随时间可发生任意形态的变化,而各种物理量(张量场) 则定义(分布)于各介质质点之上。原则上,我们可以直接利用物理空间中的 Cartesian坐 标刻画连续介质几何形态,展开张量场分布。另一种方式,我们可以首先建立物理区域(连 续介质所处的空间区域)与参数区域之间的微分同胚(曲线坐标系2。藉此,如图5所示 可将几何形态不规则的物理区域一一对应至几何形态规则的参数区域,甚至参数区域可以不 随时间变化;可将物理区域上张量场对应至参数区域上张量场(由曲线坐标刻画连续介质质 点的位置),并且基于曲线坐标系自身确定的局部基(位于物理区域)展开张量场控制方程 我们将上述认识称为映照观点。基于映照观点,往往可将物理区域的复杂边界对应至参 数区域的平面或者直线,从而避免了对几何边界的离散或者近似;可基于张量场场论简便地 获得定义于参数区域的张量场分量所需满足的偏微分方程(PDE),这些方程将显含曲线坐 ihhttp:/ljpkc.fudan.edu.cn/s/353/第五届力学课程报告论坛论文——力学基础知识体系的现有学习、研究与教学体会 6 业基础路径提供了适合的数学思想及方法。在此我们也特别指出，一般教学教程或专著的所 载的数学思想及方法往往不能直接适用于力学或者物理研究，由此需要我们结合实际问题寻 找合适的数学，包括以恰当的方式理解甚至建立数学定义，将相关数学思想及方法充分联系 与实际研究。以下我们就连续介质的有限变形理论进行概要性说明。 2.1 映照观点 （a） （b） 图 5 映照观点示意图：（a）将几何不规则区域微分同胚至几何规则区域；（b）基于曲线坐 标系的局部基展开张量 物理空间中连续介质的几何形态随时间可发生任意形态的变化，而各种物理量（张量场） 则定义（分布）于各介质质点之上。原则上，我们可以直接利用物理空间中的 Cartesian 坐 标刻画连续介质几何形态，展开张量场分布。另一种方式，我们可以首先建立物理区域（连 续介质所处的空间区域）与参数区域之间的微分同胚/曲线坐标系[1,2]。藉此，如图 5 所示， 可将几何形态不规则的物理区域一一对应至几何形态规则的参数区域，甚至参数区域可以不 随时间变化；可将物理区域上张量场对应至参数区域上张量场（由曲线坐标刻画连续介质质 点的位置），并且基于曲线坐标系自身确定的局部基（位于物理区域）展开张量场控制方程。 我们将上述认识称为映照观点。基于映照观点，往往可将物理区域的复杂边界对应至参 数区域的平面或者直线，从而避免了对几何边界的离散或者近似；可基于张量场场论简便地 获得定义于参数区域的张量场分量所需满足的偏微分方程（PDE），这些方程将显含曲线坐 站 http://jpkc.fudan.edu.cn/s/353/