力学基础知识体系的现有学习、研究与教学体会 标系的几何信息,如度量张量分量、 Christoffel符号等。一般而言,参数区域上的PDE较直 接按 Cartesian坐标展开的PDE从形式上更为复杂,前者往往多出混合偏导数项以及几何量, 但对于数值计算这些都不会带来实质性困难。另一方面,由于我们在几何形态规则的参数区 域中求解PDE(物理边界对应于参数区域的规则边界),故仅需采用参数区域上的 Cartesian 坐标就可构建差分或者有限元格式,无需特别的网格构建。 亦需指出,工程实际中的复杂物理区域往往不能仅通过一个曲线坐标系实现其至参数区 域的微分同胚,由此需要多个曲线坐标系局部地实现微分同胚,此时需处理重叠区域的计算 问题等。流形上的微积分原则上提供了相关思想及方法,如单位1分解在 Stokes公式证明 中的作用,但单位1分解的具体实现仍需专门的研究。 22连续介质的几何形态 (x2) ∑(x2,f) 图6几何形态为曲面的连续介质有限变形运动的构型构造 随着现代科学技术的发展,人们已经开始关注纳米膜、细胞膜等这种厚度方向特征尺度 远小于展向特征尺度的连续介质的变形运动。此外,研究星球表面的大范围大气运动,则有 大气的厚度远远小于星球半径。由此可见,我们可能需要研究几何形态为曲面的连续介质的 有限变形运动,此时将连续介质的几何形态视作曲面,可通过引入面密度来刻画连续介质实 际的厚度分布及演化。 如图6所示,参照经典的几何形态为体积的连续介质的有限变形理论,我们仍可以建立 初始物理构型Vs、当前物理构型Vs以及初始参数构型Vs、当前参数构型Vx。初始及当 期物理构型位于运动曲面之上(连续介质可位于曲面之上进行独立运动),其向量值映照表 示为 (x2,):D2×x(t+7){x2,}→>(x,) 而初始及当前参数构型均位于运动曲面的参数区域D2之中。基于构型定义,我们仍可以通 过微积分引入变形梯度;通过研究变形梯度的基本性质,可以给出变形刻画;基于变形刻画 可以获得各种形式的输运方程。藉此,可建立几何形态为曲面的连续介质有限变形运动的几 何学及运动学,包括连续性方程力学基础知识体系的现有学习、研究与教学体会 7 标系的几何信息，如度量张量分量、Christoffel 符号等。一般而言，参数区域上的 PDE 较直 接按 Cartesian 坐标展开的 PDE 从形式上更为复杂，前者往往多出混合偏导数项以及几何量， 但对于数值计算这些都不会带来实质性困难。另一方面，由于我们在几何形态规则的参数区 域中求解 PDE（物理边界对应于参数区域的规则边界），故仅需采用参数区域上的 Cartesian 坐标就可构建差分或者有限元格式，无需特别的网格构建。 亦需指出，工程实际中的复杂物理区域往往不能仅通过一个曲线坐标系实现其至参数区 域的微分同胚，由此需要多个曲线坐标系局部地实现微分同胚，此时需处理重叠区域的计算 问题等。流形上的微积分原则上提供了相关思想及方法，如单位 1 分解在 Stokes 公式证明 中的作用，但单位 1 分解的具体实现仍需专门的研究。 2.2 连续介质的几何形态 图 6 几何形态为曲面的连续介质有限变形运动的构型构造 随着现代科学技术的发展，人们已经开始关注纳米膜、细胞膜等这种厚度方向特征尺度 远小于展向特征尺度的连续介质的变形运动。此外，研究星球表面的大范围大气运动，则有 大气的厚度远远小于星球半径。由此可见，我们可能需要研究几何形态为曲面的连续介质的 有限变形运动，此时将连续介质的几何形态视作曲面，可通过引入面密度来刻画连续介质实 际的厚度分布及演化。 如图 6 所示，参照经典的几何形态为体积的连续介质的有限变形理论，我们仍可以建立 初始物理构型 o V  、当前物理构型 t V  以及初始参数构型 o V  、当前参数构型 t V x 。初始及当 期物理构型位于运动曲面之上（连续介质可位于曲面之上进行独立运动），其向量值映照表 示为：       x t D t t T x t x t     , : , , ,   0 0      而初始及当前参数构型均位于运动曲面的参数区域 D 之中。基于构型定义，我们仍可以通 过微积分引入变形梯度；通过研究变形梯度的基本性质，可以给出变形刻画；基于变形刻画， 可以获得各种形式的输运方程。藉此，可建立几何形态为曲面的连续介质有限变形运动的几 何学及运动学，包括连续性方程[3]