五届力学课程报告论坛论文—一力学基础知识体系的现有学习、研究与教学体会 图7第二类内蕴形式广义 Stokes公式示意图 就动力学,如图7所示,我们主要基于第二类内蕴形式的广义 Stoke公式4 fGx)(=+m-)g,k(为曲面度算 Φ(x2,)可为定义在曲面上的任意张量场,H为平均曲率,将沿Xn方向的作用(表现为 介质边界上的线积分)转化为面积分。结合输运定理就可获得各种守恒律的微分方程 对于自然界中“薄层介质”(流体可为细胞膜、皂膜、海面上油污、星体上大气等;固 体可为板和壳、纳米膜等)可有二种处理方法:第一类,由三维近似至二维。技术上可引入 小参数做摄动展开:或者选取一张中心面,将沿厚度的作用等效于沿中心面边界的积分。 此类研究的张量场场论对应于 Euclid流形上的场论,亦即 Riemann- Christoffel张量自然为零 第二类,由二维(曲面)至三维。技术上可引入面密度(体密度乘厚度,体密度一般为常数) 此类研究的张量场场论对应于 Riemann流形上的场论,亦即 Riemann- Christoffel张量不自然 为零。以上所概述的几何形态为曲面的连续介质有限变形理论隶属第二类。上述二类处理方 法可视作不同的力学建模方式,其适用性应该依赖于具有问题;可能随着厚度的减小,第二 类建模方式会越来越适合,相关理论需要不断地经实践检验并得以完善。 鉴于几何形态为曲面的连续介质有限变形理论的出现(包括Aris早期进行的固定曲面 上二维流动的相关研究),我们建议将连续介质按其几何形态区分体积形态以及曲面形态 二类3,,分别对应于 Euclid流形以及 Riemann流形,由此也分别对应于 Euclid流形以及 Riemann流形上的场论。由于 Riemann流形上 Riemann- Christoffel张量不自然为零,故几何 形态为曲面的连续介质的相关守恒律方程中会直接含有几何同力学的耦合项。 另就体积形态的连续介质的有限变形理论,基于映照观点,我们提出了当前物理构型对 应之曲线坐标系显含时间的有限变形7,希冀相关理论能有益于含有可变形边界的流动以 及流固耦合问题。 23基础知识体系(理论及实践) 作者在复旦大学已多次开设专业选修课程《张量分析与微分几何基础》、《连续介质力学 基础》,一般每学年在不同学期开设这二门课程。课程的广度及深度一直追求能基本达到郭 仲衡先生著《张量(理论和应用)》、《非线性弹性理论》門等教程或专著,现总体上业已 实现 主要结合近期我们在连续介质有限变形理论方面学习与研究,我们将张量分析及有限变第五届力学课程报告论坛论文——力学基础知识体系的现有学习、研究与教学体会 8 图 7 第二类内蕴形式广义 Stokes 公式示意图 就动力学，如图 7 所示，我们主要基于第二类内蕴形式的广义 Stoke 公式[3,4]   n dl Hn d                    ，  ,  l l g x t x        为曲面梯度算子，  x t  ,  可为定义在曲面上的任意张量场，H 为平均曲率，将沿  n 方向的作用（表现为 介质边界上的线积分）转化为面积分。结合输运定理就可获得各种守恒律的微分方程。 对于自然界中“薄层介质”（流体可为细胞膜、皂膜、海面上油污、星体上大气等；固 体可为板和壳、纳米膜等）可有二种处理方法：第一类，由三维近似至二维。技术上可引入 小参数做摄动展开；或者选取一张中心面，将沿厚度的作用等效于沿中心面边界的积分[5]。 此类研究的张量场场论对应于 Euclid 流形上的场论，亦即 Riemann-Christoffel 张量自然为零。 第二类，由二维（曲面）至三维。技术上可引入面密度（体密度乘厚度，体密度一般为常数）。 此类研究的张量场场论对应于 Riemann 流形上的场论，亦即 Riemann-Christoffel 张量不自然 为零。以上所概述的几何形态为曲面的连续介质有限变形理论隶属第二类。上述二类处理方 法可视作不同的力学建模方式，其适用性应该依赖于具有问题；可能随着厚度的减小，第二 类建模方式会越来越适合，相关理论需要不断地经实践检验并得以完善。 鉴于几何形态为曲面的连续介质有限变形理论的出现（包括 Aris 早期进行的固定曲面 上二维流动的相关研究[6]），我们建议将连续介质按其几何形态区分体积形态以及曲面形态 二类[3,7]，分别对应于 Euclid 流形以及 Riemann 流形，由此也分别对应于 Euclid 流形以及 Riemann 流形上的场论。由于 Riemann 流形上 Riemann-Christoffel 张量不自然为零，故几何 形态为曲面的连续介质的相关守恒律方程中会直接含有几何同力学的耦合项。 另就体积形态的连续介质的有限变形理论，基于映照观点，我们提出了当前物理构型对 应之曲线坐标系显含时间的有限变形[3,7]，希冀相关理论能有益于含有可变形边界的流动以 及流固耦合问题。 2.3 基础知识体系（理论及实践） 作者在复旦大学已多次开设专业选修课程《张量分析与微分几何基础》、《连续介质力学 基础》，一般每学年在不同学期开设这二门课程。课程的广度及深度一直追求能基本达到郭 仲衡先生著《张量（理论和应用）》[8]、《非线性弹性理论》[9]等教程或专著，现总体上业已 实现。 主要结合近期我们在连续介质有限变形理论方面学习与研究，我们将张量分析及有限变