372 高等数学重点难点100讲 P(x,y)+Q(x,y)j作用,在xOy面内从点A沿光滑曲线L移动到点B时,变力F(x,y) 所作的功:明F-P..dy)-J+a0y(其中由=+4y),质点 在空间沿光滑曲线移动时变力作功可表示为空间对坐标的曲线积分 例3一质点在力场F作用下由点A(2,2,1)沿直线移动到点B(4,4,2),求F所做的 功W,已知F的方向指向原点,其大小与作用点到xOy平面的距离成反比 解设点M(x,y,z)是A,B连线上的任一指定点,则F在该点的方向为r 10-x,。-y.02},大小为(k为比例常数),于是 I MOI F=k /x2+y2+>j+ dz W rat t ydy t zdz √x2+y2+ 线段AB的参数方程为x=2(t+1),y=2(t+1),x=t+1,0≤t≤1, W 3 故 3kln2 t+1 、平面上对坐标的曲线积分与二重积分的关系—格林公式 在定积分中我们学过著名的牛顿一莱布尼兹公式F(x)dx=F(x)|,它把函数 F'(x)在区间[a,b上的定积分表为其原函数F(x)在区间端点处的函数值之差 平面闭区域D上的二重积分也可以通过沿闭区域D的边界曲线l上的曲线积分来表 达,这就是格林公式 若闭区域D由分段光滑的曲线l围成,函数P(x,y),Q(x,y)在D上有一阶连续的偏导 数,则有 )dxdy= pdr + Qdy D 其中l是D的取正向的边界 对于复连通区域D,格林公式右边应包括区域D的全部边界的曲线积分,且边界的方向 对区域D来说都是正向 、格林公式的应用 1.计算封闭曲线的曲线积分 例4计算中(2xy-x2)dx+(x+y)dy,其中l是由抛物 线y=x2和y2=x所围成区域的正向边界 解法1直接计算,如右图,由l和l2两段有向弧段组成 其中l1:x=x,y=x2,x从0变到142:x=y2,y=y,y从1变 到 原式 (2ry-r2)dr+(r+y2)dy+(2xy-r')dr+(r+y2)dy