第86讲曲线积分计算法(2) 371 第86讲茴线积分计算法(2) 、曲线积分的应用 (1)当f(x,y)>0时,对弧长的曲线积分f(x,y)d可以看成是以f(x,y)为线密度 的曲线形构件L的质量M 应用曲线积分计算曲线构件的质量、重心,对坐标轴的转动惯量等都与二重积分类似 例1求半径为a,中心角为29的均匀圆弧的重心(设线密 度p=1). 解取坐标系如右图,由扇形的对称性可知y=0,又 M、 M 2 acos6·ad 2o cosd asin% 所以,圆弧的重心位于扇形的对称轴上且与圆心距离处 图86-1 例2设螺旋形弹簧一圈的方程为x= acost,y= asin,z=k,其中0≤t≤2x.它的 线密度p(x,y,z)=x2+y2+x2,求:(1)它的重心;(2)它关于z轴的转动惯量 解(1)设重心的坐标为()则=刮x,=高,=其中 M= (x2+y2+z)d (a2+k2t2)√a2+kd 2r√a2+k2 (3a2+4丌k2), 3 im M,reds=r(ri+yo+=>ds= acost(a+k'e)va+kde aVa+k coset+ak t'costdt=4mrak'Va+k: y(x+y2+z)d asin(a'+k2t) 2b2 kede 4丌2ak k kt(a2+kt2)va+kdr=2nk(a+2r'k2) 于是,重心为( 6rak2 3k(a2+2r'x 4丌k2,2a +42k23a2+4丌2k (2)l对z轴的转动惯量为 (x2+y2)(x2+y2+z2) a2(a2+k2t2)√a2+k2da a2√a2+k(3a2+4xk2) (2)对坐标的曲线积分P(x,y)dx+Q(x,y)dy的物理意义是当质点受到力F(x,y