Weierstrass第一逼近定理与第二逼近定理 Karl Weierstrass(1815-1897)是19世纪德国数学家,他在数 学的许多领域都作出了重要的工作,其中不少成果是在他做中学教师 时取得的。由于他对数学科学的重大贡献,他后来被聘为柏林大学教 授和法国巴黎科学院院士。 Weierstrass是数学分析基础的主要奠基者之一,是把严格的数学 论证引进分析学的一位大师。 Weierstrass利用单调有界的有理数数列 来定义无理数,从而在严格的逻辑基础上建立了实数理论;他提出的 关于极限定义的ε-δ语言,被数学界公认为是关于极限概念的最准确 的描述,并被一直使用至今。 连续函数的多项式逼近: Bernstein多项式 连续函数可以由多项式一致逼近是分析中的重要定理,直接的证 明方法就是用函数的 Bernstein多项式去逼近函数。通常的教材中的 证明比较难于理解,我们选择前苏联数学家 Korovkin在1953年给出 证明方法,解决了教学中的这一难点。 Weierstrass第一逼近定理设f(x)是闭区间[a,b上的连续函 数,则存在多项式序列{Pn(x)}在[a,b]上一致收敛于∫(x)。也就是对 任意给定的ε>0,存在多项式P(x),使得 P(x)-f(x)<E 对一切x∈[a,b成立。 证不失一般性,设[a,b]为[0,1 设X是[0,1上连续函数f()全体构成的集合,Y是多项式全体构 成的集合,定义映射 B:X→Y 0)B,=5/)c:a-) 得到{Bn(f,x)},Bn(,x)表示f∈X在映射Bn作用下的像,它是以x为 变量的n次多项式,称为f的n次 Bernstein多项式 关于映射Bn,有下述基本性质与基本关系式: (1)线性性:对于任意f,g∈X及a,B∈R,成立 Bn(a∫+βg,x)=aBn(,x)+BBn(g,x); (2)单调性:若f()≥g()(t∈{a,b]),则 Bn(,x)≥Bn(g,x)(x∈{a,b]);Weierstrass 第一逼近定理与第二逼近定理 Karl Weierstrass （1815—1897）是 19 世纪德国数学家，他在数 学的许多领域都作出了重要的工作，其中不少成果是在他做中学教师 时取得的。由于他对数学科学的重大贡献，他后来被聘为柏林大学教 授和法国巴黎科学院院士。 Weierstrass 是数学分析基础的主要奠基者之一，是把严格的数学 论证引进分析学的一位大师。Weierstrass 利用单调有界的有理数数列 来定义无理数，从而在严格的逻辑基础上建立了实数理论；他提出的 关于极限定义的ε −δ 语言，被数学界公认为是关于极限概念的最准确 的描述，并被一直使用至今。 连续函数的多项式逼近：Bernstein 多项式 连续函数可以由多项式一致逼近是分析中的重要定理，直接的证 明方法就是用函数的 Bernstein 多项式去逼近函数。通常的教材中的 证明比较难于理解，我们选择前苏联数学家 Korovkin 在 1953 年给出 证明方法，解决了教学中的这一难点。 Weierstrass 第一逼近定理 设 是闭区间[a, b]上的连续函 数，则存在多项式序列{ 在[a, b] 上一致收敛于 。也就是对 任意给定的 xf )( n xP )( } xf )( ε > 0，存在多项式 xP )( ，使得 xfxP )()( <− ε 对一切 x∈[a, b]成立。 证 不失一般性，设[a, b]为[0, 1]。 设 X 是[0, 1]上连续函数 全体构成的集合，Y 是多项式全体构 成的集合，定义映射 tf )( Bn : X → Y tf )( 6 kk kn n n k n xxC n k fxfB − = ⎟ − ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ),( = ∑ )1( 0 ， 得到{ } n xfB ),( ， n xfB ),( 表示 ∈ Xf 在映射 作用下的像，它是以 Bn x为 变量的n次多项式，称为 f 的 次n Bernstein 多项式。 关于映射Bn，有下述基本性质与基本关系式： (1)线性性：对于任意 , ∈ Xgf 及α, β ∈ R ，成立 xgBxfBxgfB ),(),(),( n α + β = α n + β n ； (2)单调性：若 （ ≥ tgtf )()( t ∈[a, b]），则 xgBxfB ),(),( n ≥ n （ x∈[a, b]）； 1