(3)Bn(1,x)=∑Cnx2(1 Cnx(-x)k 4 函数(t-s)2在Bn映射下的像(视s为常数): B(-s)2,x)=B(2,x)-2sBn(t,x)+s2B(1x) 2sx+ +(x-S 由于f在[0,1上连续,所以有界,即存在M>0,对于一切t∈[0,1], 成立 ()≤M 根据 Cantor定理,f在[0,1]上一致连续,于是对任意给定的ε>0,存 在δ>0,对一切t,s∈[0,1] 当t-s<δ时,成立 E f()-f(s)<5; 当t-s≥6时,成立 ()-f(s)≤2M≤=2(-s)2 于是对一切t,s∈[0,1,成立 ()-f(s)s5+2M-s)2, 22 8 2M (t-s)2≤f()-f(s)≤ 2 对上式的左端,中间,右端三式(视t为变量,s为常数)考虑在 映射Bn作用下的像,得到对一切x,s∈[0,1],成立 E2M「x-x2 +(x-s)|B(x)-f()≤ 令s=x,注意x(1-x)≤,即得到对一切x∈[0,1,成立 8 M k=0(n/n f(x)≤ 取N 当n>N时(3) ),1( 1)1( ； 0 = =− − = ∑ kk kn n n k n xxCxB xxxC n k xtB kk kn n n k n = =− − = ),( ∑ )1( 0 ； = =− − = ∑ kk kn n n k n xxC n k xtB ),( )1( 0 2 2 2 n xx x 2 2 − + 。 函数 在2 − st )( Bn 映射下的像（视s为常数）： 2 2 2 2 2 2 2 (( ) , ) ( , ) 2 ( , ) (1, ) 2 ( n nn 2 ) . B n t s x B t x sB t x s B x xx xx x sxs xs n n −= − + − − = + − += +− 由于 f 在[0, 1]上连续，所以有界，即存在 ，对于一切 [0, 1]， 成立 M > 0 t ∈ )( ≤ Mtf ； 根据 Cantor 定理，f 在[0, 1]上一致连续，于是对任意给定的ε > 0，存 在δ > 0，对一切 ,st ∈[0, 1]： 当 st <− δ 时，成立 2 )()( ε sftf <− ； 当 st ≥− δ 时，成立 2 2 )( 2 2)()( st M Msftf −≤≤− δ 。 于是对一切 ,st ∈[0, 1], 成立 2 2 2 () () ( ) 2 M f t fs t s ε δ − ≤+ − ， 即 )()()( 2 2 2 2 sftfst M −≤−−− δ ε 2 2 )( 2 2 st M −+≤ δ ε 。 对上式的左端，中间，右端三式（视t为变量，s为常数）考虑在 映射 Bn 作用下的像，得到对一切 x,s ∈[0, 1]，成立 2 2 2 2 ( ) (,) ( ) 2 n Mxx x s B fx f n ε δ ⎡ ⎤ − −− + − ≤ − ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ s 2 2 2 2 ( ) 2 Mxx x s n ε δ ⎡ − ⎤ ≤+ + − ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ， 令s = x，注意 4 1 xx )1( ≤− , 即得到对一切 x ∈ [0, 1]，成立 2 0 2 2 )()1( δ ε n M xfxxC n k f n k kk kn ⎟ n +≤−− ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∑ = − 。 取 ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = εδ 2 M N ，当 时 > Nn , 2