Methods of Mathematical Physics(2016. 12)Chapter 13 Separation of variables in cylindrcal coordinates and Bessel functions YLMa a Phys. FDU e2=∑Jm(x)r t=k e J(x)+2∑Jn(kp)”cos(mB) 这里已用到了Jn(x)=(-)Jn(x)和em+(-1)mem=2mcos(mO) (3)加法公式J(x+y)=∑J(x)-(y) 证明:e(-)=SJ(x+y,又 把=一 e)=e-y)-)=∑J,()2∑1()=∑∑(x)1()2 令k=n+l,则 =∑∑J(x)-n(y)2=∑∑J(x)(y) n=-∞k= n=-k= 所以,比较两者得J(x+y)=∑J4(x)J(y k=-∞ (4)积分公式 由em=∑J(x)em得展开系数为 ixsine -ine de -isin b+in 2 cos(x sin@-ne)de=.cos(ne-xsin)de eesd0′2r e -rose+in d e 第二行推导用了奇函数在其周期内的积分为零;第三行是第一行的→+/2 (5)J,(x)的零点方程J,(x)=0的根] (A).J(x)的零点有无限多个,且x≠0的零点都是一级零点x(n=12,3,…)Methods of Mathematical Physics (2016.12) Chapter 13 Separation of variables in cylindrical coordinates and Bessel functions YLMa@Phys.FDU 7 cos 1 ( ) 2 0 1 J ( ) J ( ) 2 J ( ) cos( ). i ikz ik x t ie t t m m x k m m m m e e e x t x k i m       =  − = =−  = = = = = +   这里已用到了 J ( ) ( ) J ( ) m m m x x − = − 和 ( ) 2 cos( ). m im m im m i e i e i m    − − + − = （3）加法公式 J ( ) J ( )J ( ). n k n k k x y x y  − =− + =  证明： ( ) 1 2 J ( ) , x y z z n n n e x y z + −  − =− = +  又 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 2 2 2 J J J J . x y x y z z z z z z n l n l n l n l n l n l e e e x z y z x y z + − − −     − − − + =− =− =− =− =  = =     令 k = n+l ，则 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 J J J J . x y z z k n n k n k n k n k n k e x y z x y z + −     − − − =− =− =− =− = =     所以, 比较两者得 J ( ) J ( )J ( ). n k n k k x y x y  − =− + =  （4）积分公式 由 sin J ( ) ix in n n e x e    =− =  得展开系数为 ( ) ( ) ( ) sin sin cos cos 1 1 J ( ) d d 2 2 1 1 cos sin d cos sin d 2 2 = d d . 2 2 ix in ix in n n n ix in ix in x e e e x n n x i i e e                                     − − + − − − − + − + − − = = = − = − − =       第二行推导用了奇函数在其周期内的积分为零；第三行是第一行的    → + / 2. （5） J ( ) x  的零点[方程 J ( ) 0 x  = 的根] (A). J ( ) x  的零点有无限多个，且 x  0 的零点都是一级零点 ( ) ( 1,2,3, ) n x n  = :