Methods of Mathematical Physics(2016. 12)Chapter 13 Separation of variables in cylindrcal coordinates and Bessel functions YLMa a Phys. FDU Hx2(O)=∞(v=0,v≠O) (B)x很大(x→∞)时[衰减式震荡函数,证明见教材§13.5 J,(x)~ coSI x N,(x) 24 r(-24m(x-、2号 3. Bessel函数J(x)的基本性质(这里仅仅讨论整数阶Bese函数) (1)生成函数(母函数,复习) =∑J(x)2"(0<<∞) 特别地,令二=e,有e=∑J(x)em 证明: 则 e4-)=:=( 1-k :(+(一 均2k(k+n)(2 =0n=-1 (-n)2 ∑J(x)2”+∑(-1)"J(x)="=∑J(x)="+∑(-l)"(-1)"J(x)2 J,(x) (2)平面波按柱面波的展开(匹配、归化、一统描述 6Methods of Mathematical Physics (2016.12) Chapter 13 Separation of variables in cylindrical coordinates and Bessel functions YLMa@Phys.FDU 6 (1)(2) H (0) ( 0, 0).  =  =    (B). x 很大 ( ) x →  时 [衰减式震荡函数，证明见教材§13.5] 2 J ( ) ~ cos . 2 4 x x x         − −   2 N ( ) ~ sin . 2 4 x x x         − −   (1) 2 2 4 H ( ) ~ . i x x e x         − −   (2) 2 2 4 H ( ) ~ . i x x e x       − − −     3. Bessel 函数 J ( ) n x 的基本性质（这里仅仅讨论整数阶 Bessel 函数） （1）生成函数（母函数，复习） 1 2 J ( ) (0 ). x z z n n n e x z z   −      =− =     特别地，令 i z e  = ，有 sin J ( ) . ix in n n e x e    =− =  证明： ( ) 1 2 0 2 0 1 , ! 2 1 , ! 2 x l z l l x k k z k k x e z l x e z k −  =  − − =     =        −    =        则： ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 2 2 2 0 0 0 0 1 2 2 0 0 0 1 1 ! ! 2 1 1 ! ! 2 ! ! 2 1 1 !( )! 2 !( )! 2 x x x k l k z z z z l k l k k k l k l k l k l k k l k l k l k l n n k n l n n k n l n x e e e z l k x x z z l k l k x x z z k k n l l n − − +   − − − = = + +     − − = = = = + + − + −    − = = = =− −   =  =     − −     = +         − −     = +     + −     =         0 1 0 1 J ( ) ( 1) J ( ) J ( ) ( 1) ( 1) J ( ) J ( ) . n n n n n n n n n n n n n n n n n n x z x z x z x z x z  −  − − − − − = =− = =−  =− + − = + − − =      （2）平面波按柱面波的展开（匹配、归化、一统描述）