Methods of Mathematical Physics(2016. 12)Chapter 13 Separation of variables in cylindrcal coordinates and Bessel functions YLMa a Phys. FDU (2)渐近行为(定性分析) (A).x很小(x→>0)时, J,(x)= kir(v+k+1)(2, J,(x) (v≠0) N(x)==In+CJ( m-n-1)(x)m 一m+2n 其中,C=l(1-h=0572157-,称为欧拉(Eukr)常数 No(x)--In N,(x) r()(x 2 r(v)x 2 In 丌2 H12(x)-/(e)/x) (v≠0) 2 Jx)-1-(3→J(0)=1(上述特例积分时用过此) J,(x) (v≠0)→J,(0)=0(v≠0) r(v+1)(2 可见x=0并非J(x)之零点,而是J,(0)之v阶零点(≠0) (v=0,v≠0)Methods of Mathematical Physics (2016.12) Chapter 13 Separation of variables in cylindrical coordinates and Bessel functions YLMa@Phys.FDU 5 （2）渐近行为(定性分析) (A). x 很小 ( 0) x → 时， ( ) ( ) 2 0 1 J ( ) ! 1 2 k k k x x k k    +  = −   =    + +    2 0 J ( ) ~ 1 ; 2 1 J ( ) ~ ( 0). ( 1) 2 x x x x         −                 +   2 1 0 2 2 1 ( 1)! N ( ) ln J ( ) 2 ! 2 1 ( 1) 1 1 1 1 1 1 ( )! ! 2 2 2 m n m m m n m n n m n m x m n x x C x n x n m n n m n    − + − = − − +  =     − − = + −         −         − + + + + + + +         − −           其中， ln 0.5772157 1 lim 1  =        − = → n k n n k C 称为欧拉（Euler）常数. 0 2 N ( ) ~ ln ; 2 ( ) N ( ) ~ ( 0). 2 x x x x       −          −       (1) 0 (1) 2 H ( ) ~ ln ; 2 ( ) H ( ) ~ ( 0). 2 i x x x x i       −         −       (2) 0 (2) 2 H ( ) ~ ln ; 2 ( ) H ( ) ~ ( 0). 2 i x x x x i       −  −              2 0 J ( ) ~ 1 2 x x   −     0 J (0) 1 = (上述特例积分时用过此). 1 J ( ) ~ ( 0) ( 1) 2 x x           +    J (0) 0 ( 0)  =   . 可见 x = 0 并非 0 J ( ) x 之零点，而是 J (0)  之  阶零点 ( 0)   . 0 2 N ( ) ~ ln ; 2 N (0) ( 0, 0). ( ) N ( ) ~ ( 0) 2 x x x x          −      = − =      −      