Methods of Mathematical Physics(2016. 12)Chapter 13 Separation of variables in cylindrcal coordinates and Bessel functions YLMa a Phys. FDU v≠整数,J(x)和J_(x)线性无关解; =m=整数,Jn(x)和Nn(x)线性无关解, Nn(x): Normann函数。 当x=k2+是实数时,,(x)和N,(x)都是实函数,现在再引入两个复函数 H(x)=J,(x)+N(x)第一种 Hankel函数; H12(x)=J(x)-N,(x),第二种 Hankel函数 它们统称为v阶(第三类) Bessel函数,于是 Bessel方程的解可以是以上四种 函数中任何两个的线性组合。 这个类似于(1)cosx、(2).sinx,(3)cosx+ I SInx=e"、(4)cosx- I sinx=e都是 方程y(x)+y(x)=0的特解;或方程y(x)-y(x)=0的特解有() cosh x,(2) sinh x, (3) cosh+ sinha=e,(4) cosh- sinh x=e,其通解可以用以上四个函数中任何 两个线性组合表示[方程y"(x)-y(x)=0的通解是这四个函数的线性组合 2.各种柱函数的递推公式与渐近性质 (1)递推公式 'Z)'=xz, Z+-Z=Z 2Z1=Z,1-Z (xz.)=-x"z z,=2-1+Z Z代表J,N,H,H2) 证明:例如,J,(x)= kr(+k+1)(2 v+2k-1 (x) (2v+2k)x2 k!(v+k+1)2+26 k=6k!I(v-1+k+1)2 即:(xZ)=xZ,…同理又有:(xz)=-xZ 特例:J=-J→J()45=1-J(x),((0)=1见下其实是定义 (z)=xZ-→「+(5)d5=x(x)Methods of Mathematical Physics (2016.12) Chapter 13 Separation of variables in cylindrical coordinates and Bessel functions YLMa@Phys.FDU 4 J ( ) J ( ) J ( ) N ( ) N ( ) : Norimann m m m x x m x x x      − = = 整数， 和 线性无关解; 整数， 和 线性无关解, 函数。 当 2 x k =  + 是实数时， J ( ) x  和 N ( ) x  都是实函数，现在再引入两个复函数。 (1) H ( ) J ( ) N ( ) x x i x    = + ,第一种 Hankel 函数; (2) H ( ) J ( ) N ( ) x x i x    = − ,第二种 Hankel 函数, 它们统称为  阶（第三类）Bessel 函数，于是 Bessel 方程的解可以是以上四种 函数中任何两个的线性组合。 这个类似于 (1).cos ,(2). sin , x x (3).cos sin ,(4).cos sin ix ix x i x e x i x e− + = − = 都是 方程 y x y x ( ) ( ) 0 + = 的特解；或方程 y x y x ( ) ( ) 0 − = 的特解有 (1).cosh ,(2). sinh , x x (3).cosh sinh ,(4).cosh sinh x x x x e x x e − + = − = ，其通解可以用以上四个函数中任何 两个线性组合表示 [方程 y x y x ( ) ( ) 0 − = 的通解是这四个函数的线性组合]。 2. 各种柱函数的递推公式与渐近性质 （1）递推公式 ( ) ( ) 1 1 ' , ' . x Z x Z x Z x Z         − − − +  =    = −  1 1 , . Z Z Z x Z Z Z x         − +   + =     − = −  Cal. ( ) 1 1 1 1 2 , 2 . Z Z Z Z Z Z x         − + − +   = −   = +   Z 代表 (1) (2) J , N ,H ,H     . 证明：例如， ( ) ( ) 2 0 1 J ( ) ! 1 2 k k k x x k k    +  = −   =    + +    def. ， ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 1 1 2 2 1 2 1 0 0 1 (2 2 ) 1 J ' J , ! 1 2 ! 1 1 2 k k k k k k k k k x x x x x k k k k               + − − + + − + − = = − + − = = =  + +  − + +   cal. 即： ( ) 1 x Z x Z ' .     = − 同理又有： ( ) 1 x Z x Z '     − − = − + . 特例： 0 1 J' J = − 1 0 ( ) 0 J 1 J ( ) x  = −  d x  , 0 (J (0) 1 = 见下,其实是定义). ( ) = −1      x Z x Z ( ) 1 1 1 0 J J ( ) x d x x        + +  =  +