Methods of Mathematical Physics(2016. 12)Chapter 13 Separation of variables in cylindrcal coordinates and Bessel functions YLMa a Phys. FDU 注意两个方程及其a的物理意义不同。分离变量得 Tm+akT=o 容易求解) Jthe lst eq. is the wave eq, it is damping if Imk2*0 T+akt=0 the 2nd eg is also the wave eg in Qu Mech. due to id 和 2+k2T=0 此为Hmhh程,即:(p)+py++ky=0 只要实空间可分离变量,就可令(p,,z)=R(p)D(q)Z(x),将其代入上式得 ①"+md=0. z"-=0 p2R"+pR+|(2+)p 同样要求对k2+的符号(±)加以讨论(下面的第二节为正,第三节为负一源于 z(z)的本征值问题)。 Bessel函数[圆)柱函数] 1. Bessel函数 设p√R2+=x,R()=y(x),则一般地[如果Φ()中没有周期条件,则v 可以不为整数] xy+(x2-y2)y=0=y(x)=A,(x)+BNx), 其中:J(x)=∑ k= kl.(v+k+1) N(x)= (x)cos VT-J_(x) (v+ integer, see chapt. 8) N (x)=lir J (xco J,(x) (v=n integer, see chapt. 8, p 16) In J,(x):v阶(第一类) Bessel函数; N(x):v阶(第二类)Besd函数Methods of Mathematical Physics (2016.12) Chapter 13 Separation of variables in cylindrical coordinates and Bessel functions YLMa@Phys.FDU 3 注意两个方程及其 a 的物理意义不同。分离变量得： 2 2 2 2 2 0 ( 0 t T a k T k T a k T i   + =       + =    the 1st eq. is the wave eq.,it is damping if Im 0. 容易求解) the 2nd eq. is also the wave eq.in Qu.Mech.due to . 和 2 2  + = V k V 0, 此为 Helmholtz 方程，即： ( ) 2 2 1 1 0. V V V k V   zz     + + + = 只要实空间可分离变量，就可令 V z R Z z ( , , ) ( ) ( ) ( )     =  ，将其代入上式得： ( ) 2 2 2 2 2 0. 0. 0. m Z Z R R k m R       +  =      − =    + + + − =      同样要求对 2 k +  的符号 ( )  加以讨论（下面的第二节为正，第三节为负—源于 Z z( ) 的本征值问题）。 二、Bessel 函数 [(圆)柱函数] 1. Bessel 函数 设 2    k x R y x + = = , ( ) ( ), 则一般地 [如果 ( )  中没有周期条件，则  可以不为整数] ( ) 0 2 2 2 x y + xy + x − y =  解 y x A x B x ( ) J ( ) N ( ) = +   ， 其中： ( ) ( ) 2 0 1 J ( ) ! 1 2 k k k x x k k    +  = −   =    + +    ， J ( )cos J ( ) N ( ) ( integer, see chapt. 8) sin x x x       − − =  ， J ( )cos J ( ) N ( ) lim ( integer see chapt. 8,p.16). sin n n x x x n       − → − = = ， J ( ) : x   阶（第一类）Bessel 函数; N ( ) : x   阶（第二类）Bessel 函数