§12 Schrodinger方程 方程 量子力学的基本定律是波函数所满足的偏微分方程。 这个方程对于波函数应该是线性的,即若1和2是方程的解则c1+c2平2(C1,C2是复常数)也 是方程的解,以满足叠加原理的要求;它应该与粒子的内在属性参数(例如质量,电荷,自旋)有关 却与粒子的状态参数(例如能量,动量,角动量)无关 这个方程是什么样的方程?我们可以从 de broglie波得到一些启示。 de broglie波的波函数是 p(, t=e -I(Et-pF)/h 所以 =ET iV=p,→>-h2V2平=p 而对于自由粒子 E 2m 所以 这个方程就满足上面的要求。它可以看作是在经典关系中进行代换 p→>-ihV, 并且把它们作用于波函数(GF,t)得到的。容易验证:由 de broglie波的线性叠加所构成的波函数 o d=lo_h o(p)e)/ndp(E=p/2m) 都满足上面的方程 由此我们可以推广地说:若粒子在外势场V()中运动,其能量的表达式为 则它的波函数应该满足方程 n2 此即单粒子运动的 Schrodinger方程1926)。它是量子力学的基本定律,然而在本质上是一个假定。它的 正确性是靠实验来检验的。 当然, Schrodinger当初提出这个方程的时候并不是沿着上面的思路。 Schrodinger的思想是“作为本 征值问题的能量量子化”(见§54)。 2.几率守恒定律 粒子的空间几率密度是 p(F,1)=|(F,)=平(,1)H(G,) a ay 根据 Schrodinger方程,1 §1.2 Schrödinger 方程 1. Schrödinger 方程 量子力学的基本定律是波函数所满足的偏微分方程。 这个方程对于波函数应该是线性的，即若 1 和 2 是方程的解则 1 1 2 2 1 2 c c c c  +  ( , ) 是复常数 也 是方程的解，以满足叠加原理的要求；它应该与粒子的内在属性参数（例如质量，电荷，自旋）有关， 却与粒子的状态参数（例如能量，动量，角动量）无关。 这个方程是什么样的方程？我们可以从 de Broglie 波得到一些启示。de Broglie 波的波函数是 i( ) / ( , ) e , Et p r r t − −   = 所以 2 2 2 i , i , . E t p p  =   −  =  → −   =  而对于自由粒子 2 , 2 p E m = 所以 2 2 i . t m2  = −    这个方程就满足上面的要求。它可以看作是在经典关系中进行代换 t E   → i  , p → −  i , 并且把它们作用于波函数 ( , ) r t 得到的。容易验证：由 de Broglie 波的线性叠加所构成的波函数 i( ) / 3 3 1 ( , ) ( )e ( / 2 ) (2 ) Et p r r t p d p E p m   − −    = =  都满足上面的方程。 由此我们可以推广地说：若粒子在外势场 V r( ) 中运动，其能量的表达式为 1 2 ( ), 2 E p V r m = + 则它的波函数应该满足方程 2 2 i ( ) . 2 V r t m    = −  +       此即单粒子运动的 Schrödinger 方程(1926)。它是量子力学的基本定律，然而在本质上是一个假定。它的 正确性是靠实验来检验的。 当然，Schrödinger 当初提出这个方程的时候并不是沿着上面的思路。Schrödinger 的思想是“作为本 征值问题的能量量子化”（见§5.4）。 2. 几率守恒定律 粒子的空间几率密度是 2 ( , ) ( , ) ( , ) ( , ), r t r t r t r t  =  =   所以 . t t t       =  +     根据 Schrödinger 方程