ay ih v-p+-vyp 并且(注意=V), V--vy t h 所以 (PV-中)=Vv一平vH) at 21 J(wy-平V)mb_平i) 则 V·J=0, 这表示了一种守恒定律。因为,对任何体积V p 等式右方用 Gauss定理,得 J·dS, W是在体积内发现粒子的总几率,而Jd(矢量S指向的外边)是矢量穿过封闭曲面S 向外的总通量。所以J是“几率流密度”,而上式表现了几率守恒。 如果平(F,1)是一个一般的函数,则|(F1)|的积分可能与时间有关,所以它的归一化就变成了 个不可能随着时间的推移一直被满足的要求。但若它满足 Schrodinger方程,则 =,=0 即W与时间无关,所以波函数的归一是可以永远保持下去的。由此还可以看出:几率守恒也就是粒子 数守恒,因为它表示:一个粒子既不可能凭空产生,也不可能凭空消失 几率流密度还可以写成另外的样子,其物理意义可能更清楚一些 方=(平斜平+平)=(评9+甲 其中=-ih,=i,=/m,=/m,=(+/2。代入 de broglie波里=Ae-(Erp)h 我们发现 =|AP2P=平PP 所以上面的表达式还是有点道理的 提问:如果V是复函数,还有几率守恒定律吗?由此你怎样理解V的虚部的物理意义?) 3.初值问题,*自由粒子的传播子 对于时间变量而言, Schrodinger方程是一阶微分方程,所以只要给定初始时刻(t=0)的波函数, 那么以后任何时刻的波函数都能够完全决定 以下我们以自由粒子的情形为例,说明这样的初值问题可以如何求解。 前面已经指出:波函数 H(F21)= (2nb八3(pe-(E-BF)M dp(e=p/2m) 满足自由粒子的 Schrodinger方程。它的初值是2 2 i 1 , 2 i V t m  =   +   并且（注意 V V  = ）， 2 i 1 , 2 i V t m     = −   −   所以 2 2 i i ( ) ( ). t m m 2 2      =    −   =     −   记 i 1 ˆ ˆ ( ) ( ), 2 2 J p p m m −     =   −  =   −   则 J 0, t  +   =  这表示了一种守恒定律。因为，对任何体积 V ， 3 3 ( ) , V V d r J d r t  = −      等式右方用 Gauss 定理，得 , V S d W J dS dt = −   WV 是在体积 V 内发现粒子的总几率，而 S J dS     （矢量 dS  指向 V 的外边）是矢量  J 穿过封闭曲面 S 向外的总通量。所以  J 是“几率流密度”，而上式表现了几率守恒。 如果 ( , )  r t 是一个一般的函数，则 2 (r,t)   的积分可能与时间有关，所以它的归一化就变成了 一个不可能随着时间的推移一直被满足的要求。但若它满足 Schrödinger 方程，则 2 3 | ( , ) | 0, d r t d r J dS dt    = −  =   即 W 与时间无关，所以波函数的归一是可以永远保持下去的。由此还可以看出：几率守恒也就是粒子 数守恒，因为它表示：一个粒子既不可能凭空产生，也不可能凭空消失。 几率流密度还可以写成另外的样子，其物理意义可能更清楚一些。 1 1 1 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ( ) ( ) ( ) , 2 2 2 J p p v v v v v m         =   +   =   +   =  +  =   其中 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ p p v p m v p m v v v = −  =  = = = + i , i , / , / , ( ) / 2 。代入 de Broglie 波 i( ) / e Et p r A − −   = ， 我们发现 2 2 | | | | . p p J A v m m = =  =  所以上面的表达式还是有点道理的。 （提问：如果 V 是复函数，还有几率守恒定律吗？由此你怎样理解 V 的虚部的物理意义？） 3. 初值问题，*自由粒子的传播子 对于时间变量而言，Schrödinger 方程是一阶微分方程，所以只要给定初始时刻（ t = 0 ）的波函数， 那么以后任何时刻的波函数都能够完全决定。 以下我们以自由粒子的情形为例，说明这样的初值问题可以如何求解。 前面已经指出：波函数 i( ) / 3 3 1 ( , ) ( )e ( / 2 ) (2 ) Et p r r t p d p E p m   − −    = =  满足自由粒子的 Schrödinger 方程。它的初值是