习题解答 第五章线性空间与欧几里得空间 5-1 1.按通常数的加法与乘法,下列集合是否构成实数域R上的线性空间? (1)整数集Z:(2)有理数集Q;(3)实数集R;(4)复数集C. 解:(1)与(2)都不是实数域R上的线性空间,因为标量乘法不封闭.(3)和(4)都是R上的线性空 间. 2.若K为复数域C,问以实数为元素的一切n×n矩阵的集合对矩阵的加法与标量乘法是否构成 K上的线性空间?为什么? 解:否,关于标量乘法不封闭 3.检验下列集合对于所给的运算是否构成实数域上的线性空间 (1)全体实对称(反称,上三角形)矩阵,对于矩阵的加法与标量乘法 (2)次数等于n(n≥1)的实系数多项式全体,对于多项式的加法与乘法 (3)平面上全体向量,对于向量的加法与如下定义的标量乘法 (4)全体正实数R+,加法和标量乘法定义为 a⊕b=ab, 解:(1)是;(2)否,零多项式不在集合中;(3)否.因为当a≠0时,0a≠0;(4)是 4.计算上题中所出现的线性空间的维数和基 解(1)实对称m+卫维基{E+En|i≤小 反称: 维,基{E-Eii<示; 上三角形四+1维基{E1i≤八 (4)1维,任何不等于1的正实数都可作为基 5.证明:全体以零为极限的实数列 S={{an}=(a1,a2,a3,…,an,…)|a∈R, lim an 按如下定义的加法与标量乘法 fan)+(bn)=fan +bnj Han)=kanj 构成实数域R上的一个无限维线性空间 证明:验证线性空间略.为说明它是无限维的,对任意的正整数n,有一个收敛于0的数列:an {0,…,0,1(第n项),0,0,……}.于是对于任意大的n,总有m个向量a1,……,an线性无关￾
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5–1 1. [r6DBD,  T)u*2 R yt&pq? (1) + Z; (2) G Q; (3) 2 R; (4) @ C. : (1) B (2) mU2 R yt&pq, !"U DU. (3) : (4) m R yt&p q. 2.  K "@ C,
$2"XHA n × n ]^ T]^DBU D)u* K yt&pq? "/0? : ), *<U DU. 3. B} T<#3g)u*2 yt&pq: (1) 32u (Mu, y456) ]^, <]^DBU D; (2) HV< n (n > 1) 2j :)3, < :)DBD; (3) y3 , < DBMU D: kα = α; (4) 3r2 R +, D:U DM": a ⊕ b = ab, k ◦ a = a k . : (1) ; (2) ), o :)Uk T; (3) ), !" b α 6= 0 R, 0α 6= 0; (4) . 4. xgya#%1t&pqF:z. : (1) 2u: n(n + 1) 2 F, z {Eij + Eji | i 6 j}; Mu: n(n − 1) 2 F, z {Eij − Eji | i < j}; y456: n(n + 1) 2 F, z {Eij | i 6 j}. (4) 1 F, ￾UV< 1 r2m>/"z. 5. ST: 3$o"s2 S = n {an} = (a1, a2, a3, · · · , an, · · ·) | ai ∈ R, limn→∞ an = 0o [MDBU D: {an} + {bn} = {an + bn}; k{an} = {kan} u*2 R yHf,sFt&pq. : }St&pqi. "XT8,sF, ￾
r+ n, GHfCD< 0 : αn = {0, · · · , 0, 1(= n :),0, 0, · · · }. <<￾
; n, 8G n f α1, · · · , αn t&,*. · 1 ·