, 6 (1)证明:P按矩阵的加法与标量乘法构成实数域R上的一个线性空间; (2)求P的维数与基 解:(1)略.(2) dimR F=4,基为 10 0 01)/0 7.设R为实数域在它自身上的线性空间,卫+为第3题(4)中的向量空间证明:R与R+同构 证明:令 则(a)φ是映射 (b)是单的:因为21=22→r1=T (c)y是满的:因为对任意的a∈R+,a=22a.而log2a∈R,于是y(log2a)=2ga (d)φ保持运算 g(r1+r2)=271+r2=212n=2122=y(r1)(r2); y(kr1)=2n=(2)=ko2=ko(r1) 所以φ是同构 8.设F为全体形如 (x1,x2,x3,……,xn,……),xn=xn-1+xn-2,n≥3 的实数列所组成的集合,其加法与标量乘法的定义如第5题 (1)证明:F构成R上的一个二维线性空间 (2)给出F的一个由等比数列所组成的基 (3)求斐波那契( Fibonacci)数列 的通项公式 证明:(1)F为R上线性空间的证明略.下面求F的维数 考察数列a1=(0,1,1,2,3,5,……)与a2=(1,1,2,3,5,…),显然a1,a2∈F (a)设ka+k2a2=0,则(k2,k1+k2,k1+2k2,2k1+3k2,…)=0,所以k2=0,从而k1=0.这说 明a1,a2线性无关 (b)对任意的 B=(a1,a2,a3 ),an=an-1+an-2,n≥3 考察 ?=(a2-a1)a1+a102-BE F 则Y=(0,0,x3,x4,…).因为∈F,所以x3=0+0=0.,x4=x3+0=0,由归纳法可知?=0.这就证 明了B=(a2-a1)a1+a1a2.因此a1,a2构成F的基,dmF=2. (2)设有等比数列 则对n≥2有m=-1+a-2,从而2=9+1得到q=1y6.  P = ½µ α β −β α ¶¯ ¯ ¯ ¯ α, β ∈ C ¾ . (1) ST: P []^DBU Du*2 R yHft&pq; (2) s P FBz. : (1) i. (2) dimR P = 4, z": µ 1 0 0 1 ¶ , µ i 0 0 −i ¶ , µ 0 1 −1 0 ¶ , µ 0 i i 0 ¶ . 7.  R "2 k8gEyt&pq, R + "= 3 a (4)  pq. ST: R B R + Cu. : I ϕ : R −→ R + r 7−→ 2 r J (a) ϕ F]; (b) ϕ : !" 2 r1 = 2r2 ⇐⇒ r1 = r2; (c) ϕ -: !"￾
 a ∈ R +, a = 2log2 a . % log2 a ∈ R, < ϕ(log2 a) = 2log2 a = a; (d) ϕ FG3g: ϕ(r1 + r2) = 2r1+r2 = 2r1 2 r2 = 2r1 ⊕ 2 r2 = ϕ(r1) ⊕ ϕ(r2); ϕ(kr1) = 2kr1 = (2r1 ) k = k ◦ 2 r1 = k ◦ ϕ(r1). #$ ϕ Cu. 8.  F "36 (x1, x2, x3, · · · , xn, · · ·), xn = xn−1 + xn−2, n > 3 2#B* T, <DBU DM= 5 a. (1) ST: F u* R yHfbFt&pq; (2) % F HfNVe#B*z; (3) sHI E (Fibonacci)  (0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, · · ·) r:f). : (1) F " R yt&pqSTi. s F F.  α1 = (0, 1, 1, 2, 3, 5, · · ·) B α2 = (1, 1, 2, 3, 5, · · ·),  α1, α2 ∈ F. (a)  k1α1 + k2α2 = 0, J (k2, k1 + k2, k1 + 2k2, 2k1 + 3k2, · · ·) = 0, #$ k2 = 0, C% k1 = 0. wX T α1, α2 t&,*. (b) ￾
 β = (a1, a2, a3, · · · , an, · · ·), an = an−1 + an−2, n > 3  γ = (a2 − a1)α1 + a1α2 − β ∈ F, J γ = (0, 0, x3, x4, · · ·). !" γ ∈ F, #$ x3 = 0 + 0 = 0, x4 = x3 + 0 = 0, NPD> γ = 0. woS Tr β = (a2 − a1)α1 + a1α2. !O α1, α2 u* F z, dim F = 2. (2) GVe (a, aq, aq2 , · · ·) ∈ F, J n > 2 G aqn = aqn−1 + aqn−2 , C% q 2 = q + 1, P q = 1 ± √ 5 2 . · 2 ·