易知 ∈F, 2 F 又m,m线性无关,而dmF=2,所以m,m构成F的基 (3)斐波那契数列 (0,1,1,2,3,5,8,…)∈F, 因此存在c1,c∈R,使 y=c11+c272 从而 1+√5 解得 由此可得斐波那契数列得通项公式是 9.所谓n阶魔阵,是指其各行各列以及主对角和次对角元素之和都相等的n阶方阵,如 就是一个三阶魔阵 (1)证明:实数域上全体n阶魔阵的集合Mn按矩阵的加法与标量乘法构成R上的一个线性空间; (2)求M3的维数 解:(2)3维,基为 习题52 1.设W1,W2是线性空间V的子空间,证明以下三个论断是等价的 (3)W1+W2=W 证明:(1)兮(2)以及(1)→(3)都是显然的 (3)→(1):W1+W=W→W1sW1+W=W2 2.求由向量a2生成的子空间和由向量生成的子空间的交与和的基与维数 (1,3,1,-1) B1=(3,-1,-3,-5) (1,0,1,2) =(5,-2,-3,-4); η1 =  1, 1 + √ 5 2 , Ã 1 + √ 5 2 !2 , · · ·   ∈ F, η2 =  1, 1 − √ 5 2 , Ã 1 − √ 5 2 !2 , · · ·   ∈ F. Q η1, η2 t&,*, % dim F = 2, #$ η1, η2 u* F z. (3) HI E ϕ = (0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, · · ·) ∈ F, !O1k c1, c2 ∈ R, ' ϕ = c1η1 + c2η2. C% ( 0 = c1 + c2 1 = c1 1 + √ 5 2 + c2 1 − √ 5 2 -P c1 = √ 5 5 , c2 = − √ 5 5 , NO>PHI EPr:f) Dn = √ 5 5   Ã 1 + √ 5 2 !n−1 − Ã 1 − √ 5 2 !n−1   . 9. #J n yKL, -<( ($hM5:H5X9:meV n y@^,    6 1 8 7 5 3 2 9 4   oHf4yN^. (1) ST: 2 y3 n yN^ T Mn []^DBU Du* R yHft&pq; (2) s M3 F. : (2) 3 F, z":   1 −1 0 −1 0 1 0 1 −1   ,   0 1 −1 −1 0 1 1 −1 0   ,   1 1 1 1 1 1 1 1 1   .
5–2 1.  W1, W2 t&pq V ￾pq, ST$4f#}V: (1) W1 ⊆ W2; (2) W1 ∩ W2 = W1; (3) W1 + W2 = W2. : (1) ⇔ (2) $h (1) ⇒ (3) m. (3) ⇒ (1): W1 + W2 = W2 ⇒ W1 ⊆ W1 + W2 = W2. 2. sN αi *￾pq:N βi *￾pqB:zBF. (1) ( α1 = (1, 3, 1, −1) α2 = (1, 0, 1, 2); ( β1 = (3, −1, −3, −5) β2 = (5, −2, −3, −4); · 3 ·