第六章不定积分 借助于万能变换 24 x, sin x=1+12 2dt t= tan COSx= 1+t 可以其变为t的有理函数积分 「R( (sin x, cos x)dx-∫Rk, 1+t2°1+t21+t 求出这个积分F(1)+c之后,用x=2 arctan t代入就求出结果 对于 R(snx, cos x)dx 可用 u= tan x. sin x CoSx= 1+u2 1+n2:a=.du 1+t ∫R(sm2xcos2x)k-∫R du 1+21 1+ 但是,一些常见的、简单的情形不需要这样的繁琐运算在求三角有理 式积分时最常用的方法是用三角恒等时对本积函数进行变形简化最后 求得结果 bJ 15: k sin mxsin nxdx, cos mx cos nxdx, sin mx cos nxd AF:sin mxsin nxdx-=[cos(m+n)x-cos(m-n)x]dx sin( m-n)x- sin( m+n)x]+c 相同的方法可以得到 cos mx cos nxdx n( m-n)x+-sin(m+n)x +c m+n sin mx nmax= [cos(m-n)x+-cos(m+n)x m+n 例17:求∫ 1+sin x+cos x 1+sin x +cos x 第六章不定积分第六章 不定积分 第六章 不定积分 借助于万能变换: 2 tan x t = , 2 2 2 2 1 2 1 1 ,cos 1 2 sin t dt dx t t x t t x + = + − = + = ； 可以其变为 t 的有理函数积分  R(sin x, cos x)dx =  + + − + dt t t t t t R 2 2 2 2 1 2 ) 1 1 , 1 2 ( . 求出这个积分 F(t) + c 之后, 用 x = 2arctan t 代入就求出结果. 对于  R(sin x, cos x)dx 2 2 可用 u = tan x , 2 2 2 2 1 1 1 ,cos 1 2 sin u d u dx u u x u u x + = + − = + = ；  R(sin x, cos x)dx 2 2 =  + + − + du u u u u u R 2 2 2 2 1 1 ) 1 1 , 1 2 ( 但是,一些常见的、简单的情形不需要这样的繁琐运算.在求三角有理 式积分时,最常用的方法是用三角恒等时对本积函数进行变形简化,最后 求得结果. 例 15:求    sin mxsin nxdx , cos mxcos nxdx , sin mxcos nxdx 解:   mx nxdx − [cos(m + n)x − cos(m − n)x]dx 2 1 sin sin m n x c m n m n x m n + + + − − − = sin( ) ] 1 sin( ) 1 [ 2 1 相同的方法可以得到  cosmxcos nxdx= = m n x c m n m n x m n + + + − + − sin( ) ] 1 sin( ) 1 [ 2 1 =  sin mxcos nxdx = m n x c m n m n x m n + + + − + − − cos( ) ] 1 cos( ) 1 [ 2 1 例 17:求  + x + x dx 1 sin cos 解:  + x + x dx 1 sin cos =