涂湾洁，张广铭：一维量子自旋链中拓扑有序态的物理描还 的计算得到。 其中A为D×D矩阵，它与上述用局域的g矩阵定 义矩阵乘积态的等价性可以通过矩阵定义式得到 2.转移矩阵方法 在矩阵乘积态中，关联函数的计算可以利用转移 矩阵方法73。 在周期性边界条件下，具有N个格片 =∑Aam (36) 的一维链中平移不变的矩阵乘积态的一般形式为 =∑T(4A…Am…m 上述矩阵乘积态未归一化，若采用A标记矩阵A的复共 (35)轭，则该矩阵乘积态的归一化常数为 (=∑∑T(1…mT4al…Amm…mm…m对 一三m44…A 进一步的简化计算需利用矩阵的如下性质： 其中转移矩阵G定义为 (39) Tr(B)Tr(C)=Tr(B⑧C) (37 G=∑（©A) (BCD)⊙(EFG=(B⑧E)(C⊙F)(D⑧G(38)它是一个D2×D2的厄密矩阵。 归一化常数的计算提供了构造转移矩阵方法的直 并由此得到用转移矩阵表示的矩阵乘积态归一化常数 g时 () Gp=∑(m1P1m)(A1⑧A）(4o) -e4e4 …(4mwl@AmN1 其中户是定义在单个格点上的算符，若P是单位算符， 则D2×D的矩阵G约化为转移矩阵G。利用这一映 -TrGN 射，矩阵乘积态中的两点关联函数可计算为： (PB)- 7。∑…mhox1gm…n ×…(m引Pm,〉Am1gAml)…(m②Amwj T(GN-j+i-1GpGi-i-Gp) TGN 194-019 China Academie Joumal Electronic Publishing House.All rights reserved. http://www.cnki.net 涂鸿浩，张广铭: 一维量子自旋链中拓扑有序态的物理描述 9 的计算得到。 2. 转移矩阵方法 在矩阵乘积态中，关联函数的计算可以利用转移 矩阵方法[37,39]。 在周期性边界条件下，具有N个格点 的一维链中平移不变的矩阵乘积态的一般形式为 |Ψi = X m1···mN Tr(A [m1]A [m2] · · · A [mN ] )|m1 · · · mN i (35) 其中A[mN ]为D × D矩阵，它与上述用局域的g矩阵定 义矩阵乘积态的等价性可以通过g矩阵定义式得到 gi ≡ X mi A [mi] |mii (36) 上述矩阵乘积态未归一化，若采用A¯标记矩阵A的复共 轭，则该矩阵乘积态的归一化常数为 hΨ|Ψi = X m0 1 ···m0 N X m1···mN Tr(A¯[m0 1 ] · · · A¯[m0 N ] )Tr(A [m1] · · · A [mN ] )hm0 1 · · · m0 N |m1 · · · mN i = X m1···mN Tr(A¯[m1]A¯[m2] · · · A¯[mN ] )Tr(A [m1]A [m2] · · · A [mN ] ) 进一步的简化计算需利用矩阵的如下性质： Tr(B)Tr(C) = Tr(B ⊗ C) (37) (BCD) ⊗ (EF G) = (B ⊗ E)(C ⊗ F)(D ⊗ G)(38) 并由此得到用转移矩阵表示的矩阵乘积态归一化常数 hΨ|Ψi = X m1···mN Tr[(A¯[m1] ⊗ A [m1] )(A¯[m2] ⊗ A [m2] ) · · ·(A¯[mN ] ⊗ A [mN ] )] = TrG N 其中转移矩阵G定义为 G = X m ³ A¯[m] ⊗ A [m] ´ (39) 它是一个D2 × D2的厄密矩阵。 归一化常数的计算提供了构造转移矩阵方法的直 观例子，为进一步计算矩阵乘积态中物理可观测量的 信息，不妨定义如下映射： GP = X m,m0 hm0 | Pˆ |mi ³ A¯[m0 ] ⊗ A [m] ´ (40) 其中Pˆ是定义在单个格点上的算符。若Pˆ是单位算符， 则D2 × D2的矩阵 GP约化为转移矩阵G。利用这一映 射，矩阵乘积态中的两点关联函数可计算为： hPiPj i = hΨ| PiPj |Ψi hΨ|Ψi = 1 TrGN X m0 1 ···m0 N X m1···mN Tr(A¯[m0 1 ] · · · A¯[m0 N ] )Tr(A [m1] · · · A [mN ] ) × hm0 1 · · · m0 N | PiPj |m1 · · · mN i = 1 TrGN X m0 i ,m0 j X m1···mN Tr[(A¯[m1] ⊗ A [m1] )· · ·(hm0 i | Pi |mii A¯[m0 i ] ⊗ A [mi] ) × · · ·( ­ m0 j ¯ ¯ Pj |mj i A¯[m0 j ] ⊗ A [mj ] )· · ·(A¯[mN ] ⊗ A [mN ] )] = Tr(GN−j+i−1GP Gj−i−1GP ) TrGN