涂湾洁，张广铭：一维量子白旋链中拓扑有序态的物理描述 在执力学极限下，N。,该两点关联函数的 值入mx,该非局域弦序参量的计算可约化为 值佐赖于转移矩阵G的本征值谱，(BB在长距离 要么趋 最大 值入x有简并) ,要么呈指数形式衰减。 这里我们识 考虑转移矩阵G的最大本征值无简并的情形，例如山 C.1节中讨论的VBS态即属于这种情形。不妨设转移 矩阵G的一系列本征值为入，相应的本征矢为入》，其 (46) 中1≤n≤D2,则转移矩阵G可写作 其中以 }是对应王。的晶大本征值的本 矢，可以看出 在 中使用转移矩 方法可 G=∑nAn)Anl 以使得可观测量的期待值和关联函数的计算大大 化，这一方法将在第Ⅲ章和第V章中得到广泛的 在热力学极限下，N一o,两点关联函数(PP》可进 应用， 一步约化为 L.一维SO(m)对称的严格可解量子自旋链 ▣RP"点Q.lG.G-tGr） 模型 二以--1 =》X ((G）A.SO(n)李代数的数学背景 L.矢量表示与Cartan-Weyl形式 通过第Ⅱ章对一维量子自旋链系统的回顾，我们 可以看出严格可解模型在理解一维量子自旋系统中所 起的关键作用。在量子关联体系中，严格可解模型并 (42) 不多见，一旦得到新的亚格可解模型，通常将发现新 其中关联长度为 的物理。在本章中，我们将引入一类新的一维严格可 解自旋链模型4，这类模型其有S0 为 1 专=nAmx/网 (43) 在SO(n)李代数的n维矢量表示下，Hilbert?空间 这里X是满足AnIGelAm)≠0和(AGpA)≠ 中的n个正交归一完备基可用Dirac符号表示为n), 0的转移矩阵G所有本征值入n里绝对值最大的一个。 其中1≤a≤n.在这n个基矢之间的转动可用n(m- 用转移矩阵方法进行如下非局域弦序参量的计算 1)/2个SO(n)李代数的生成元算符Lb表示为 也可依次类推 Lab ne)=iveln")-iaeln). (47) (.II p(Q)P》 其中1≤a<b≤n。利用这一等式可以证明，这些生 ct-"tEaayod 成元算符满足SO()李代数的对易关系 (44) [ab Lo]=i(+)(48) 其中GQ定义为 根据半单李代数的Cartan分类，SO(n)李代数 需要分奇数n=21+1和偶数n=21分别讨论。 李代数S0(21+1)和S0(2I)都是秩为1的代数，即它 在热力学极限下，如果弦的长度一也趋于无穷，则们的Cartan子代数包含1个相互对易的生成元。 当且仅当G。与转移矩阵G的最大本征值相同，该非 根据S0(n)李代数的对易关系(48)式，我们不妨选 局域弦参量才可能不为零.如果G。也具有最大本征 取Cartan生成元为L2,L31,,L2-1.2,并用它们 1994-2019 China Academie Joumal Electronie Publishing House.All rights reserved.http://www.enki.ne10 涂鸿浩，张广铭: 一维量子自旋链中拓扑有序态的物理描述 在热力学极限下，N → ∞，该两点关联函数的 值依赖于转移矩阵G的本征值谱，hPiPj i在长距离 下（|j − i|很大）要么趋于一个常数（G的最大本征 值λmax有简并），要么呈指数形式衰减。 这里我们只 考虑转移矩阵G的最大本征值无简并的情形，例如 II. C. 1 节中讨论的VBS态即属于这种情形。不妨设转移 矩阵G的一系列本征值为λn，相应的本征矢为|λni，其 中1 ≤ n ≤ D2，则转移矩阵G可写作 G = X D2 n=1 λn |λni hλn| (41) 在热力学极限下，N → ∞，两点关联函数hPiPj i可进 一步约化为 lim N→∞ hPiPj i = 1 λ j−i+1 max hλmax| GP G j−i−1GP |λmaxi = XD2 n=1 λ j−i−1 n λ j−i+1 max hλmax| GP |λni hλn| GP |λmaxi 可以看出，在长距离下关联函数hPiPj i呈指数形式衰 减 lim N→∞ hPiPj i ∼ exp µ − |j − i| ξ ¶ (42) 其中关联长度为 ξ = 1 ln |λmax/λ0 | (43) 这里λ 0是满足hλn| GP |λmaxi 6= 0和hλmax| GP |λni 6= 0的转移矩阵G所有本征值λn里绝对值最大的一个。 用转移矩阵方法进行如下非局域弦序参量的计算 也可依次类推 * Pi j Y−1 l=i+1 exp(iθQl)Pj + = Tr[GN−j+i−1GP (GQ) j−i−1GP ] TrGN (44) 其中GQ定义为 GQ = X m,m0 hm0 | exp(iθQˆ)|mi ³ A¯[m0 ] ⊗ A [m] ´ (45) 在热力学极限下，如果弦的长度|j − i|也趋于无穷，则 当且仅当GQ与转移矩阵G的最大本征值相同， 该非 局域弦参量才可能不为零。如果GQ也具有最大本征 值λmax，该非局域弦序参量的计算可约化为 lim |j−i|→∞ lim N→∞ * Pi j Y−1 l=i+1 exp(iθQl)Pj + = 1 λ2 max hλmax| GP |λQ,maxi hλQ,max| GP |λmaxi (46) 其中|λQ,maxi是对应于GQ的最大本征值λmax的本征 矢。可以看出，在矩阵乘积态中使用转移矩阵方法可 以使得可观测量的期待值和关联函数的计算大大简 化， 这一方法将在第 III 章和第 IV 章中得到广泛的 应用。 III. 一维SO(n)对称的严格可解量子自旋链 模型 A. SO(n)李代数的数学背景 1. 矢量表示与Cartan-Weyl形式 通过第 II 章对一维量子自旋链系统的回顾，我们 可以看出严格可解模型在理解一维量子自旋系统中所 起的关键作用。 在量子关联体系中，严格可解模型并 不多见，一旦得到新的严格可解模型，通常将发现新 的物理。在本章中， 我们将引入一类新的一维严格可 解自旋链模型[44,45]，这类模型具有SO(n)对称性，为 此我们首先简要回顾SO(n)李代数的数学背景。 在SO(n)李代数的n维矢量表示下，Hilbert空间 中的n个正交归一完备基可用Dirac符号表示为|n a i， 其中1 ≤ a ≤ n。在这n个基矢之间的转动可用n(n − 1)/2个SO(n)李代数的生成元算符L ab表示为 L ab|n c i = iδbc|n a i − iδac|n b i, (47) 其中1 ≤ a < b ≤ n。利用这一等式可以证明，这些生 成元算符满足SO(n)李代数的对易关系 [L ab, Lcd] = i(δadL bc+δbcL ad−δacL bd−δbdL ac) (48) 根据半单李代数的Cartan分类，SO(n)李代数 需要分奇数n = 2l + 1和偶数n = 2l分别讨论。 李代数SO(2l + 1)和SO(2l)都是秩为l的代数，即它 们 的Cartan子 代 数 包 含l个 相 互 对 易 的 生 成 元。 根据SO(n)李代数的对易关系(48)式，我们不妨选 取Cartan生成元为{L 12, L34, . . . , L2l−1,2l}，并用它们