教案:关于微分同胚的应用 "La2oy02yn」 R aalr a Pr(n) a, a 00 a f an sine, af [ cos0 00 sine/ a a10y.0oy0 aR oe a r Oy aR ay ap2空 ax,a/a0, a f an cos0, af[ sine an sin 0 a8 sing ai sine. a f cose sine_ af cos e_ a j sine sin ecos 6 ax2 R a00 RR a AR2 a1a0 R 22R a-f sin a-f cos 0 a-f sin 20 af cos 0 af sin 20 a2R20022R2 aR2 a R2 80 22R 03aa3aa3an|Rn)可 (x,y 2 az a802 az anan az」R(m)a 2a+00+f anan az alan az an- ay 0AR,011A守+2R R21「_AR02 a2Ran」RaLR2 R- af aR 8/ af 2RR-22R2 R2 a22 an2 r anan anR 综上有:对4(x,y,2)=/03 (x,y,二)=0 af 8f. af (x,y, =) R2(n)af (2,6,m) R2()O (,6.m)+xR(m)e2 0-280(n)(RRJ 1 2R--aRR af (2,6,n)=0 x「1「元R(7)cosb 再考虑y(b=Rm)inO∈R3,当R(n)=1,A∈(O.R)R= const则 2」n[n (x,y2021(,,m)+107 ZD(mk1=0,即对应一般柱坐标系 事例3:方程变换 注:此种问题基本上一致,不过现已知微分同胚(或相应变换) 引自《数学分析习题集》林,方等 第7页共13页教案：关于微分同胚的应用 第 7 页 共 13 页 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ˆ ˆ ˆ ˆ sin cos sin ( , , ) ( ) ˆ ˆ ˆ ˆ cos sin sin sin · · ( ) f f f f f x y z R y y y y R R y R y f f f f R y y y R R y R y R y                                                                                                                  2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ sin cos sin sin cos cos sin cos · · · 2 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ sin cos sin 2 si cos cos n 2 f f f f f f R R R R R R R R f f f f f R R R R                                                                                                2 2 R   2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ˆ ( ) ˆ ˆ ˆ ( ) ( , , ) ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ R f f f f R f R RR R x y z z z z z R z R z f f f z z y f R f R f R R R R R                                                                                                                      2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 2 2 R R f R f R R f f R R R R f f RR R R                                                 综上有：对 222 2 2 2 ( , , ) ( , , ) 0 fff f x y z x y z x y z                2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ˆ ˆ 1 ( ) 1 ( , , ) ( , , ) ( , , ) ( ) ( ) ˆ ˆ ˆ 2 ( ) 1 2 ( , , ) ( , , )=0 ( ) ( ) R R f f f R f f x y z x y z f R f R RR f R R R                                                                      注：再考虑 3 ( )cos ( ) ( )sin x R y z R                                           ，当 R(  ) 1,   (0,R R cons ), t 则 2 2 2 2 2 2 2 ˆ ˆ ˆ 1 ( , , ) ( , , ) ( , , ) 0 f f f f x y z                      ，即对应一般柱坐标系。 事例 3：方程变换* 注：此种问题基本上一致，不过现已知微分同胚（或相应变换） * 引自《数学分析习题集》林，方等