Prydz Odc Rdxd小y 为此,分别把曲面S投影到YZ平面,ZX平面和XY平面上化为二重积分进行计算.投 影域的侧由曲面S的定向决定 例1计算积分x=dd,其中S是球面x2+y2+2=1在 x≥0,y≥0部分取外侧 例2计算积分(x+y)dhd+(y-)ddx+(x+3x)ddy ∑为球面x2+y2+二2=R2取外侧 解对积分(x+y),分别用Σ和∑后记前半球面和后半球面的外侧,则有 /R2-y R Dn:y2+z2≤R2 因此,(x+y)=,+ R +y kvd R2-y2 d D =2』yR2-y2-d=8r、R-rmb 4 3 对积分中(y-)dzdx,分别用∑和∑记右半球面和左半球面的外侧,则有 R D R R < 因此,A(y--)d ∫(R2-2-x2-)-1R-2-x2- 2∫R2-:2-xtk=4zR x2+2≤R2 对积分(二+3xxd,分别用∑上和∑下记上半球面和下半球面的外侧,则有, , . ∫∫S Pdydz ∫∫S Qdzdx ∫∫S Rdxdy 为此, 分别把曲面 投影到 YZ 平面, ZX 平面和 XY 平面上化为二重积分进行计算. 投 影域的侧由曲面 的定向决定. S S 例1 计算积分 ∫∫ , 其中 是球面 在 S xyzdxdy S 1 222 zyx =++ yx ≥≥ 0 , 0 部分取外侧. 例 2 计算积分 ∫∫Σ ++−++ )3()()( dxdyxzdzdxzydydzyx ， Σ 为球面 取外侧. 2222 =++ Rzyx 解 对积分 ∫∫Σ + )( dydzyx , 分别用 和 Σ前 Σ后 记前半球面和后半球面的外侧, 则有 Σ前 : , 222 −−= zyRx ; 222 yz : ≤+ RzyD Σ后 : , 222 −−−= zyRx . 222 yz : ≤+ RzyD 因此, ∫∫Σ + )( dydzyx = + = ∫∫Σ前 ∫∫Σ后 ( ) ∫∫ −+−−= Dyz dydzyzyR 222 ( ) ∫∫ =+−−− Dyz dydzyzyR 222 = −− =========== =− ∫∫ ∫ ∫ ≤+ == 222 2 0 0 22 sin ,cos 222 2 8 Rzy R rzry dydzzyR rdrrRd π θθ θ ( ) 3 0 2 3 22 3 4 3 2 2 1 4 rR R Rr π r = π ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⋅−−= = = . 对积分 dxdzzy ∫∫Σ − )( , 分别用 和 记右半球面和左半球面的外侧 Σ右 Σ左 , 则有 Σ右 : , 222 −−= xzRy ; 222 zx : ≤+ RzxD Σ左 : , 222 −−−= xzRy . 222 zx : ≤+ RzxD 因此, =− ∫∫Σ )( dydzzy ∫∫Σ右 + = ∫∫Σ左 ( ) ( ) ∫∫ ∫∫ −−−−−−−−= D D zx zx dzdxzxzR dzdxzxzR 222 222 ∫∫ ≤+ = =−− 222 222 3 3 4 2 Rzx πRdzdxxzR . 对积分 dxdyxz ∫∫Σ + )3( , 分别用 和 记上半球面和下半球面的外侧 Σ上 Σ下 , 则有 267