008年全国研究生统一考试代数部分试题 r(A=r(aa)sr(a)<1<2 设a≠0,月≠0,必存在y≠0,使得 ay=0,By=0, 于是, Ay=(aa+6B7)y=0, 即齐次线性方程组Ax=0有非零解,所以 r(4)≤2 1.若a,B线性相关,不妨设β=ka, 显然存在线性无关的两个向量y1,y2,有 也有By1=0,By2=0, 于是Ay1=(aa+BB)y1=0, y2=(aa+BB)y2=0, 即Ax=0有两个线性无关的解,所以 r(4)<2. 证法7:1.若α,B中有一个为0,不妨设 B=0,则 r(A)=r(aa)≤r(a)≤1<2,2008 年全国研究生统一考试代数部分试题 10 ( ) ( ) ( ) 1 T r A = ≤ r αα αr ≤ < 2 0 ， 设 α ≠ 0, β ≠ ，必存在 γ ≠ 0 ，使得 0 0 , T T α γ β = = γ ， 于是， ( ) 0 T T Aγ = + αα ββ γ = ， 即齐次线性方程组 Ax = 0有非零解，所以 r A( ) ≤ 2． II．若α,β 线性相关，不妨设β = kα ， 显然存在线性无关的两个向量 , 1 2 γ γ ，有 , 1 2 0 0 T T α γ α = = γ ， 也有 , 1 2 0 0 T T β γ β = = γ ， 于是 ( ) 1 1 0 T T Aγ = + αα ββ γ = ， ( ) 2 2 0 T T Aγ = + αα ββ γ = ， 即 Ax = 0 有两个线性无关的解，所以 r A( ) < 2． 证法 7：I．若α,β 中有一个为 0，不妨设 β = 0，则 ( ) ( ) ( ) 1 T r A = ≤ r αα αr ≤ < 2