释疑解难向量代数与解析几何 问题1下列向量等式的几何意义是什么? (1)a+b+c=0;(2)(a×b)c=0 (3)c=ha+ub:(4)h=b-(Pra b )a 答(1)表示a、b、c向量依次首尾相接时,第一向量起点与第三向量终点相重合, 这在几何上表示:a、b、c三向量为边构成三角形,或者三向量共线 (2)由混合积的几何意义知,(axb)c表示以a、bc为棱的平行六面体的体 积.(红xb)c=0表示体积为零,即向量a、b、c共面 (3)表示向量c是由向量a、b的线性组合而得到,因此向量c平行于由向量a、b确 定的平面,即a、b、c三向量共面 (4)向量d=(Pb)a表示向量b在向量a上投影向量(如图7-4).h表示以 a、b、c为边的三角形中与a垂直的高向量,故有b=d+h 问题2下列各式对吗?为什么? (1)当a≠O时,入 (2)a.a·a=a3 (3)a×a=a2; (4)a(ab)=a'b (5)(a+b)×(a-b)=a×a-b×b=0; (6)若a≠O时a·b=a·c,则b=c: (7)若a≠O时a×b=axc,则b=c 答以上各式均是错误的.错误的原因在于把实数的运算法则搬到向量运算上.一般 而言,在一个集合中规定了某些代数运算后,便形成了一个代数系统,各个代数系统都有自 身的运算规则不能随意地搬到另一个代数系统,不然,就要发生错误,下面分析错误的原因: (1)在向量中没有除法的定义,因而等式左边是没有意义的 (2)向量的“乘法”运算有三种,第一种是数乘向量;第二种是向量与向量的数量积 第三种是向量与向量的向量积.该题等式左边是没有意义的,事实上,aa表示数a,数 a与a的乘积是数乘向量的关系,不能写成l·a,即(aa),a不能写成a,教材中规 定了a2=a·a,但a3是没有意义的 (3)由于axa=0,a2=la,故等式不成立 (4)是乱套实数乘法结合律而得到的.左边是向量a与数量(ab)的乘积,是一个平释疑解难 向量代数与解析几何 问题 1 下列向量等式的几何意义是什么？ （1） a b c o + + = ； （2） (a b c   = ) 0 ； （3） c a b = +   ；（4） ( ) 0 = − Prj h b b a a ． 答 （1）表示 a b c 、 、 向量依次首尾相接时，第一向量起点与第三向量终点相重合， 这在几何上表示： a b c 、 、 三向量为边构成三角形，或者三向量共线． （2）由混合积的几何意义知， (a b c  ) 表示以 a b c 、 、 为棱的平行六面体的体 积． (a b c   = ) 0 表示体积为零，即向量 a b c 、 、 共面． （3）表示向量 c 是由向量 a b 、 的线性组合而得到，因此向量 c 平行于由向量 a b 、 确 定的平面，即 a b c 、 、 三向量共面． （4）向量 ( ) 0 = Prja d b a 表示向量 b 在向量 a 上投影向量（如图 7-4）． h 表示以 a b c 、 、 为边的三角形中与 a 垂直的高向量，故有 bdh = + . 问题 2 下列各式对吗？为什么？ （1） 当 a o  时，  =  a a （2） 3 a a a a   = ； （3） 2 a a a  = ； （4） ( ) 2 a a b a b  = ； （5） (a b a b a a b b o +  − =  −  = ) ( ) ； （6） 若 a o  时 a b a c  =  ，则 b c = ； （7） 若 a o  时 a b a c = ，则 b c = 答 以上各式均是错误的．错误的原因在于把实数的运算法则搬到向量运算上．一般 而言，在一个集合中规定了某些代数运算后，便形成了一个代数系统，各个代数系统都有自 身的运算规则不能随意地搬到另一个代数系统，不然，就要发生错误，下面分析错误的原因： （1）在向量中没有除法的定义，因而等式左边是没有意义的． （2）向量的“乘法”运算有三种，第一种是数乘向量；第二种是向量与向量的数量积； 第三种是向量与向量的向量积．该题等式左边是没有意义的，事实上， a a 表示数 2 a ，数 2 a 与 a 的乘积是数乘向量的关系，不能写成 2 a a ，即 (a a a  ) 不能写成 3 a ．教材中规 定了 2 a a a =  ，但 3 a 是没有意义的． （3）由于 a a = 0， 2 2 a a = ，故等式不成立． （4）是乱套实数乘法结合律而得到的．左边是向量 a 与数量 (a b ) 的乘积，是一个平