行于a的向量,右边是数量a2=a:a=l与向量b的乘积,是一个平行于b的向量,这两 个向量在一般情形下是不相等的,只有a与b同向时,等式才能成立.事实上,若 b=Ra(1>0), ua(ab)=alab=aallla=a (5)是套用实数的平方差公式而得到的.由于向量积虽然满足分配律,但不满足交换 律(仅满足反交换律),因此,这个公式是不对的,事实上 (axb)x(a-b)=ax(a-b)+b×(a-b)=axa-axb+b×a-b×b=-2(axb) (6)、(7)是套用了实数的消去律,由于向量的数量积的向量积没有逆运算,因此, 向量运算中,这种消去律不成立(见前面的“几点注意”),我们只能得到 ac分a(b-c)=0a⊥(b-c) axb=axc分→ax(b-c)=0÷a|(b-c) 问题3设三角形ABC顶点的向径分别是F、F2、r,如何用F、F、r3表示三角形 ABC的面积?进一步说明F×F2+F2×F+r×F=O的几何意义 答应用向量的加法(如图7-5),AB、AC可以表示为AC=E2-F,AB=r3-F·则 △4BC的面积为 S=AB×AC 厂2×F-F×r一F2×+F 因r×F=一×F,Ex=一×,F×F=0,故 +rx 显然,当F×E2+F2×F+r×F=O时,△4BC的面积S=0 这在几何上表示A、B、C三点在同一直线上 问题4一般二次方程 图7-5 F=x+Gx+Hy+1z+J=0 当二次项系数不全为零时必定表示二次曲面吗? 答不一定.例如下列各二次方程均不表示二次曲面: (1)x2+4y2+92+4xy+12z+62x-4x-8y-122+3=0 可化为(x-2y+32-3)(x-2y+32-1)=0,故知它表示两个平行平面 (2)x2+y2+2-xy-yz-x=0,可化为(x-y)2+(y-)2+(-x)2=0,故知行于 a 的向量，右边是数量 2 2 a a a a =  = 与向量 b 的乘积，是一个平行于 b 的向量，这两 个向量在一般情形下是不相等的，只有 a 与 b 同向时，等式才能成立．事实上，若 b a =   ( 0) ，则 ( ) ( ) 2 2 a a b a a b a a a a a a b  = = = =   ． （5）是套用实数的平方差公式而得到的．由于向量积虽然满足分配律，但不满足交换 律（仅满足反交换律），因此，这个公式是不对的，事实上 (a b a b a a b b a b a a a b b a b b a b   − =  − +  − =  −  +  −  = −  ) ( ) ( ) ( ) 2( ) ． （6）、（7）是套用了实数的消去律，由于向量的数量积的向量积没有逆运算，因此， 向量运算中，这种消去律不成立（见前面的“几点注意”），我们只能得到 a b a c a b c a b c  =    − =  ⊥ − ( ) 0 ( ) ； a b a c a b c a b c  =    − =  − ( ) 0 ( ) ． 问题 3 设三角形 ABC 顶点的向径分别是 r r r 1 2 3 、 、 ，如何用 r r r 1 2 3 、 、 表示三角形 ABC 的面积？进一步说明 r r r r r r o 1 2 2 3 3 1  +  +  = 的几何意义． 答 应用向量的加法（如图 7-5）， AB AC 、 可以表示为 AC = − 2 1 r r ，AB = − 3 1 r r ．则 ABC 的面积为 1 2 S AB AC =  = ( 2 1 3 1 2 3 1 3 2 1 1 1 ) ( ) 1 1 2 2 r r r r r r r r r r r r −  − =  −  −  +  ． 因 r r r r 1 3 3 1  = −  ， r r r r 2 1 1 2  = −  ， r r o 1 1  = ，故 1 2 S = r r r r r r 1 2 2 3 3 1  +  +  显然，当 r r r r r r o 1 2 2 3 3 1  +  +  = 时， ABC 的面积 S = 0， 这在几何上表示 A B C 、 、 三点在同一直线上． 问题 4 一般二次方程 2 2 2 Ax By Cz Dxy Eyz Fzx Gx Hy Iz J + + + + + + + + + = 0 当二次项系数不全为零时必定表示二次曲面吗？ 答 不一定．例如下列各二次方程均不表示二次曲面： （1） 2 2 2 x y z xy yz zx x y z + + + + + − − − + = 4 9 4 12 6 4 8 12 3 0 可化为 ( x y z x y z − + − − + − = 2 3 3 2 3 1 0 )( ) ，故知它表示两个平行平面． （2） 2 2 2 x y z xy yz zx + + − − − = 0 ，可化为 ( ) ( ) ( ) 2 2 2 x y y z z x − + − + − = 0 ，故知