A=|F·dF kxdr=-kx4--kxB (2.12) 如果质点先由A点到B点再由B点到C点最后由C点再返回到B点在整个过程 中弹性力的功由三部分组成即 A=A+42+4=(32)+(kx2-k)+Gkx2-kx)=kx2-kx 由以上计算可知质点经A、B、C点再回到B点后弹性力所作的功与质点直接由 A点到B点过程弹性力作的功完全相同由此可见弹性力做功也具有同样的特点只由 质点的始末位置决定而与通过的具体路径无关 万有引力的功设质量为m的质点处于质量为M的静止质点的引力场中,并从a 点沿任一曲线路径移至b点,同重力与弹性力的讨论相同,万有引力作功也只由质点m 的始末位置决定,而与质点所通过的具体路径无关 上述结果可归纳如下: 重力的功:A=mg(y4-yB) 弹簧的弹性力是功:A=kx2-kx2 万有引力的功:A=-GMm(、1 保守力与非保守力综合以上几种力的作功都有一个共同的特点,即该力所作的 功仅与受力质点的始末位置有关,而与质点所经过的路径无关把具有这种性质的力称 为保守力 若让质点仅在保守力作用下沿一闭合路径运动,所做的总功显然为 ∮Fd=0 上式即为保守力的判别条件与此相对应把作功不仅与始末位置有关而且与质点所经 过的路径有关的力称为非保守力如摩擦力等 2.势能 势能由于保守力做功与路径无关,只与始末位置有关,由此可知,必然存在一个由 相对位置决定的函数把这个函数定义为势能而且质点由始位置移到末位置时刻函数 的增量与保守力作功相联系,从而规定势能的增量等于保守力作功的负值,用E和 Ep分别表示质点在始、末位置的势能,用A表示保守力由初始位置到末位置作的功 则有8 2 2 B A 2 1 2 1 A B x x A F dr kxdx k x k x B A =  = − = −     (2.12) 如果质点先由Ａ点到Ｂ点,再由Ｂ点到Ｃ点,最后由Ｃ点再返回到Ｂ点,在整个过程 中弹性力的功由三部分组成,即 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 3 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 A B B C C B A B A = A + A + A = ( k x − k x ) + ( k x − k x ) + ( k x − k x ) = k x − k x 由以上计算可知,质点经Ａ、Ｂ、Ｃ点再回到Ｂ点后弹性力所作的功与质点直接由 Ａ点到Ｂ点过程弹性力作的功完全相同.由此可见,弹性力做功也具有同样的特点:只由 质点的始末位置决定而与通过的具体路径无关. 万有引力的功 设质量为 m 的质点处于质量为 M 的静止质点的引力场中,并从 a 点沿任一曲线路径移至 b 点,同重力与弹性力的讨论相同,万有引力作功也只由质点 m 的始末位置决定,而与质点所通过的具体路径无关. 上述结果可归纳如下：           = − − = − = − ( ) ( ) a b A B A B r r A GMm A k x k x A mg y y 1 1 2 1 2 1 2 2 万有引力的功： 弹簧的弹性力是功： 重力的功： (2.13) 保守力与非保守力 综合以上几种力的作功,都有一个共同的特点,即该力所作的 功仅与受力质点的始末位置有关,而与质点所经过的路径无关.把具有这种性质的力称 为保守力. 若让质点仅在保守力作用下沿一闭合路径运动, 所做的总功显然为  = 0  F dl   上式即为保守力的判别条件.与此相对应,把作功不仅与始末位置有关,而且与质点所经 过的路径有关的力称为非保守力.如摩擦力等. 2. 势能 势能 由于保守力做功与路径无关,只与始末位置有关,由此可知,必然存在一个由 相对位置决定的函数,把这个函数定义为势能,而且质点由始位置移到末位置时刻函数 的增量与保守力作功相联系,从而规定:势能的增量等于保守力作功的负值,用 EP0 和 EP 分别表示质点在始、末位置的势能,用 A保 表示保守力由初始位置到末位置作的功, 则有