3最佳平方逼近元的惟一性 定理5.4.3线性内积空间X的子空间中若存在对 g∈X的最佳平方逼近元,则惟 证用反证法设S1为除S外另一个任意的对g∈X 的最佳平方逼近元.由定理542可知 当p∈Φ时,(g-s',p)=0,(g-51p)=0而 s'-s12=(s-s1s-s1) (s-g+g-S1 (s-gs"-s1)+(g 由于s*-s1∈Φ,因此 (s-gs-s1)=0,(g-1,s-s1)=0 由内积定义1中内积必须满足①的条件可知 510,即s=s13.最佳平方逼近元的惟一性 定理5.4.3 线性内积空间X的子空间中若存在对 g∈X的最佳平方逼近元，则惟一. • 证 用反证法. 设s1 *为除s *外另一个任意的对g∈X 的最佳平方逼近元. 由定理5.4.2可知 • 当p∈时, (g-s * ,p)=0, (g-s1 * ,p)=0 而 • ‖s*-s1 *‖２ ２=(s*-s1 * , s*-s1 *) ＝ (s*-g+g-s1 * , s*-s1 *) =（s *-g,s*-s1 * )+ (g-s1 * , s*-s1 *) • 由于s *-s1 * ∈ ，因此 • （s *-g,s*-s1 * ) ＝0，（g－s1 * ,s*-s1 * )＝0 • 1中内积必须满足①的条件可知 s *－s1 *≡ 即s *=s1 *