充分性仍记s=Σ 对任意的s=Σd∈,有 g-sl22=(g-s, g-s)=(g-S+S-S, g-S+S-s) (g-sg-s)+2(g-ss"-s)+(s-s,s'-s) 而(g-s,S-s)=∑(cd)(g-s;)=0 (s*-s,s-s)≥0 所以‖g-s22≥(g-s'g-s*)=‖!-s 进而有|g-s1l2s|g-s2对任意s∈Φ成立, 即s'为g的最佳平方逼近元充分性. 仍记s * ＝ ∑cjj . • 对任意的s=∑djj ∈， • ‖g-s‖２ ２=(g-s,g-s)=(g-s *+s*-s,g-s *+s*-s) • ＝(g-s * ,g-s *）+２(g-s * , s*-s)+(s*-s, s*-s) •而 (g-s * , s*-s）=∑(cj-dj )(g-s * ,j )=0 (s*-s, s*-s)0. ‖g-s‖２ ２ (g-s * ,g-s *）= ‖g-s *‖２ ２ 进而有‖g-s *‖２≤‖g-s‖２ 对任意s∈ 成立, 即s *为g的最佳平方逼近元