证必要性用反证法设S’∈Φ为对g∈X的最佳平方逼 近元,但g-S不与所有的φkk=01,2,…,n)正交 为方便起见,假定g-S*与q1(0≤i≤n)不正交,即 i=(g-S;q)≠0.令 (x)=S (q) 显然qx)∈Φ,且|!g-q(x)‖l2 =(g-Sg-S)-2/(q)<(g-SgS)=|!-S1|2 这说明S不是对g的最佳平方逼近元,与假设条件矛 盾,所以g-S必须与一切qk(k=01,2,…,n)正交证 必要性. 用反证法. 设S*∈为对g∈X的最佳平方逼 近元，但g-S*不与所有的k (k=0,1,2,…，n)正交. • 为方便起见，假定g-S*与i (0≤i≤n)不正交，即 • i=(g-S* , i ) ≠0. 令 这说明S*不是对g的最佳平方逼近元，与假设条件矛 盾，所以g- S*必须与一切k (k=0,1,2,…，n)正交. * ( ) ( , ) i i i i q x S     = + 显然q(x) ∈,且‖g-q(x)‖２ ２ ＝(g-S * ,g-S * )-i 2/(i , i )<(g-S * ,g-S * )=‖g-S*‖２ ２