习题3-3 1.设a1-(2,5,1,3),a2-(10,1,5,10,ag-(4,1,-1,1).求一向量a,使3(a1-a)+2(a2+a)- 5(a3+a). 解a=(1,2,34). 2.已知3a+46=-(2,1,1,2),2a-30=(-1,2,3.1.求a与6. 解a=立(2,11,15,10)，3-(，-4，-7,1 3.把向量3表成向量a1,a2,ag的线性组合 (1)1=(1,1,1),a2=(1,1,-1),ag=(1,-1,-1),3=(1,2.10月 (2)=(1,3,5),a2=(6,3.-2),ag=(3,1,0),3=(5,8,8: 解()3-a1+2-g (②)3=2a1+a2-ag 4.判别下列向量组是否线性相关 (1)a1=(1.1,1),a2=(1,2.3),03=(1,3.6) (2)m1=(3,2,-5,42=(2,1,-3-5),3=3,5-13,1),4=(4,5,-14,-3 (3)m=(1,-1,2,4a2=(0,3,1,2),a3=(1,7,8,9),a4=(3,2,1,2 (4)m1=(1,2,-1,4,a2=(9,1,2,-3)a3=(3,5,0,2,a4=(3,2,2,1),a5=(1,3,3,2). 解()否：(2)是：(3)否（④是 5.设a1,a2,…,am是互不相同的数，令 am=(1,1,a1…,a-), a2=(1,a2,,…,-1) am=(1,an,a2,…,a-） 证明任一n维向量都可以由向量组a1,a2,·,an线性表示。 证明：向量组a1,2,…,an构成的行列式 1a…a- 4= 1a2…a}-1 Π(a4-a)≠0， 16)<i6n 1am…a-1 所以01,2，…，0n线性无关 又对任意的n维向量向量组,1，…，an线性相关从而向量3可由向量组a1,a2,…,线 性表示. 6.设向量组a1,2,ag线性无关.证明：向量组a1+02,a2+ag,ag+a1也线性无关 证明：设 k1(a1+a2)+k2(a2+a3)+k3(a3+a1)=0, (1+kg)a1+(1+k2)a2+(2+)ag=0 4
3–3 1.  α1 = (2, 5, 1, 3), α2 = (10, 1, 5, 10), α3 = (4, 1, −1, 1). sH α, ' 3(α1 − α) + 2(α2 + α) = 5(α3 + α). : α = (1, 2, 3, 4). 2.  3α + 4β = (2, 1, 1, 2), 2α − 3β = (−1, 2, 3, 1). s α B β. : α = 1 17 (2, 11, 15, 10), β = 1 17 (7, −4, −7, 1). 3. N β * α1, α2, α3 t&BT: (1) α1 = (1, 1, 1), α2 = (1, 1, −1), α3 = (1, −1, −1), β = (1, 2, 1); (2) α1 = (1, 3, 5), α2 = (6, 3, −2), α3 = (3, 1, 0), β = (5, 8, 8); : (1) β = α1 + 1 2 α2 − 1 2 α3. (2) β = 2α1 + α2 − α3. 4. | B)t&e*: (1) α1 = (1, 1, 1), α2 = (1, 2, 3), α3 = (1, 3, 6); (2) α1 = (3, 2, −5, 4), α2 = (2, 1, −3, −5), α3 = (3, 5, −13, 11), α4 = (4, 5, −14, −3); (3) α1 = (1, −1, 2, 4), α2 = (0, 3, 1, 2), α3 = (1, 7, 8, 9), α4 = (3, 2, 1, 2); (4) α1 = (1, 2, −1, 4), α2 = (9, 1, 2, −3), α3 = (3, 5, 0, 2), α4 = (3, 2, 2, 1), α5 = (1, 3, 3, 2). : (1) ); (2) ; (3) ); (4) . 5.  a1, a2, · · · , an dUeC, I α1 = (1, a1, a2 1 , · · · , an−1 1 ), α2 = (1, a2, a2 2 , · · · , an−1 2 ), . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . αn = (1, an, a2 n, · · · , an−1 n ). ST: ￾H n F m>$N B α1, α2, · · · , αn t&. :  B α1, α2, · · · , αn u* ) |A| = ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 1 a1 · · · a n−1 1 1 a2 · · · a n−1 2 · · · · · · · · · · · · 1 an · · · a n−1 n ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ = Y 16j<i6n (ai − aj ) 6= 0, #$ α1, α2, · · · , αn t&,*. Q￾
 n F β,  B β, α1, · · · , αn t&e*, C% β >N B α1, α2, · · · , αn t &. 6.  B α1, α2, α3 t&,*. ST: B α1 + α2, α2 + α3, α3 + α1 gt&,*. :  k1(α1 + α2) + k2(α2 + α3) + k3(α3 + α1) = 0, J (k1 + k3)α1 + (k1 + k2)α2 + (k2 + k3)α3 = 0. · 4 ·