z08 a Fourier变换mb9 Integrate Sin [k x], [x,0, oo], Assumptions *[k>0] 1+X 0例题(x.00.求0,注意/在x=0不连 J()=f(x)e-ikxdx=e-ikr-Bxdx B-ik k+bB+k 验证,做反变换能否得到f(x) f(k)edko dka B-ik 利用ckx=co 奇函数,积分为0 (B cos kx+ksin kx)-i(B sin kx+k cos kx) (B cos kx+ ksin kx) >0时:(以下用到 Jordan引理) 第一项 dk= Reli Res 2 2+k2 第二项。1∩ k sin k. dk=-e-Bx(求法与第一项类似) x=0时:第一项=1C°B dk 第二项=0 P2+k2 x<时:第一项=1…x,第二项=-1 从而:f-[7()= x=0在第一类间断点x=0,f-(4)=(0)+f0-) e-Bx x>0 4B-0时,/)={x0一/=B-(x01 caviside step function(阶跃函数) 已求得:fUf(x)=f(k) B-ik B2+k2 B-ik 于[H(x) f flf(r) =--?非也! B+82尸+k2 0k≠0 设:=cOk),c为常数 其中:6(x-a)= 0x≠a 且|(x-a)dx=1称为Dac6函数 常数c=?涉及Dac6函数的证明:等式co(k)=两边同时积分 B c「o(k)dk=c=|t1dk= dk=2 i Res 丌o(k)Integrate x 1 + x2 Sin[k x], {x, 0, ∞}, Assumptions  {k > 0} -k π 2 ☺ 例题：f (x) =  0 x < 0 -β x x ≥ 0 , β > 0，求 f  (k)，注意 f (x) 在 x = 0 不连续。 解： f  (k) = -∞ ∞ f (x) - k x x = 0 ∞ - k x-β x x = 1  k + β = β -  k β2 + k2 验证，做反变换能否得到 f (x) : ℱ-1f  (k) = 1 2 π -∞ ∞ f  (k)  k x k = 1 2 π -∞ ∞ β -  k β2 + k2  k x k, 利用  k x = cos k x +  sin k x = 1 2 π -∞ ∞ (β cos k x + k sin k x) -  (-β sin k x + k cos k x) 奇函数，积分为0 β2 + k2 k = 1 2 π -∞ ∞ (β cos k x + k sin k x) β2 + k2 k x > 0 时：（以下用到 Jordan引理 ） 第一项 = 1 2 π -∞ ∞ β cos k x β2 + k2 k = 1 2 π Re -∞ ∞ β  k x β2 + k2 k = Re  Res β  k x k2 + β2 k= β = 1 2 -β x 第二项 = 1 2 π -∞ ∞ k sin k x β2 + k2 k = 1 2 -β x （求法与第一项类似 ） x = 0 时：第一项 = 1 2 π -∞ ∞ β β2 + k2 k = 1 2 , 第二项 = 0 x < 0 时：第一项 = 1 2 β x, 第二项 = - 1 2 β x 从而：ℱ-1f  (k) = 0 x < 0 1 2 x = 0 -β x x > 0 在第一类间断点 x = 0，ℱ-1f  (k) = 1 2 [f (0+) + f (0-)] ▲ β  0+ 时，f (x) =  0 x < 0 -β x x ≥ 0 ⟹ f (x) = H(x) =  0 x < 0 1 x ≥ 0 Heaviside step function （阶跃函数） 已求得：ℱ[f (x)] = f  (k) = β -  k β2 + k2 ℱ[H(x)] = ℱlim β0+ f (x) = lim β0+ℱ[f (x)] = lim β0+ β -  k β2 + k2 = lim β0+ β β2 + k2 t1 -  k β2 + k2 t2 = -  k ? 非也！ t1 = lim β0+ β β2 + k2 = 0 k ≠ 0 ∞ k = 0 ⟹ 设： t1 = c δ(k), c 为常数， 其中：δ(x - a) = 0 x ≠ a ∞ x = a 且 -∞ +∞ δ(x - a) x = 1 称为 Dirac δ 函数。 常数 c =？涉及 Dirac δ 函数的证明 ：等式 c δ(k) = t1 两边同时积分 c -∞ ∞ δ(k) k = c = -∞ ∞ t1 k = lim β0+ -∞ ∞ β β2 + k2 k = 2 π  Res β β2 + k2 k= β = π t1 = π δ (k) z08a Fourier 变换.nb 9