《数学分析(1,2,3)》教案 六两个常用的不等式和两个重要的极限 1的证明 2、limx=1的应用 例:求lmx 7-x 例:求lim 1-cOS x SIn 注:利用归结原则,可求数列极限。如求lim-n= lim nsin+,直接利用1mx=1是不严格的:但已 知 lim sinx 1,故取xn=,(n=1,2…),则xn→0(m→∞),从而由归结原则limf(x)=lim 0 例:求lim2x 3、证明m+=或lm(1+a 应用 例:烈求m(1+2x) 例:求im(-x) 例:求lim(1+--=2)” §3连续函数 引言 在数学分析中,要研究种种不同性质的函数,其中有一类重要的函数,就是连续函数。下面我们就来研 究这类函数的特点 连续的定义 定义1(∫在点x连续)设函数∫在某x点的附近包括x点有定义,若Imf(x)=f(x0),则称∫在 点x连续 注limf(x)=∫(x)=∫(imx),即“∫在点x连续”意味着“极限运算与对应法则∫可交换。《数学分析（1，2，3）》教案 2-8 六 两个常用的不等式和两个重要的极限 1、 0 sin lim 1 x x → x = 的证明 2、 0 sin lim 1 x x → x = 的应用 例：求 sin lim x x →  − x . 例：求 2 0 1 cos lim x x → x − . 注：利用归结原则，可求数列极限。如求 1 sin 1 lim lim sin n n 1 n n n n → → = ，直接利用 0 sin lim 1 x x → x = 是不严格的；但已 知 0 sin lim 1 x x → x = ，故取 ,( 1,2, ) n x n n  = = ，则 0( ) n x n → →  ，从而由归结原则 1 sin lim ( ) lim 0 1 n n n n f x n → → = = . 例：求 0 lim x tgx → x . 3、证明 1 lim 1 x x e → x     + =   或 ( ) 1 0 lim 1  e   → + = . 4、 应用 例：烈求 ( ) 1 0 lim 1 2 x x x → + . 例：求 ( ) 1 0 lim 1 x x x → − . 例：求 2 1 1 lim(1 )n n→ n n + − . §3 连续函数 ⚫ 引言 在数学分析中，要研究种种不同性质的函数，其中有一类重要的函数，就是连续函数。下面我们就来研 究这类函数的特点。 一 连续的定义 定义１（ f 在点 0 x 连续）设函数 f 在某 0 x 点的附近包括 0 x 点有定义，若 0 0 lim ( ) ( ) x x f x f x → = ，则称 f 在 点 0 x 连续。 注 0 0 0 lim ( ) ( ) (lim ) x x x x f x f x f x → → = = ，即“ f 在点 0 x 连续”意味着“极限运算与对应法则 f 可交换