《数学分析(1,2,3)》教案 例:x∈ R sin x,cosx在x处连续 例:lim(2x+1)=5=f(2)。 xsIn x≠0 例:讨论函数f(x) 在点x=0处连续性 0 x=0 注:1)设y=f(x),4=f(x)-f(x0)=f(x0+△x)-f(x0)=y-y-函数y在点x的增量。 2)等价定义1:函数∫在点x连续<→ lim Ay=0 3)等价定义2:函数∫在点x连续分VE>0,36>0,当|x-x0k时,|f(x)-f(x0)kE 注:一个定义是等价的,根据具体的问题选用不同的表述方式。 总的来讲,函数在点x连续的要求是:①f(x)在点x有定义;②imf(x)存在;③ limf(x)=f(x0)任何一条不满足,∫在点x就不连续。同时,由定义可知,函数在某点是可连续,是函 数在这点的局部性质。 5.f在点x左(右)连续定义 ①定义2设函数∫在点x点的右(左)近旁包括x点有定义,若limf(x)=f(x) (Iimf(x)=∫(x0)),则称∫在点x右(左)连续。 ②∫在点x连续的等价刻划 定理1函数∫在点x连续◇∫在点x既是右连续,又是左连续 x+2.x≥0 例:讨论函数∫(x)= 在点x=0的连续性 二连续函数的性质和运算 定理2(四则运算)若∫和g在x点连续,则f±g,f·g,(g(x)≠0)也都在点x连续 问题两个不连续函数或者一个连续而另一个不连续的函数的和、积、商是否仍旧连续? 定理3(复合函数的连续性)若∫在点x连续,记f(x)=0,函数g在l连续,则复合函数g°∫在 点x连续。 注1)据连续性定义,上述定理可表为:limg[f(x)=gf(x0)=g[limf(x).(即函数运算与极限 可以交换次序,条件是函数连续,利用它可来求一些函数的极限。) 三初等函数的连续性《数学分析（1，2，3）》教案 2-9 例： 0   x R x x ,sin ,cos 在 0 x 处连续。 例： 2 lim(2 1) 5 (2) x x f → + = = 。 例：讨论函数 1 sin , 0 ( ) 0 , 0 x x f x x x    =    = 在点 x=0 处连续性。 注：1）设 0 0 y f x = ( )， 0 0 0 0  = − = +  − = − y f x f x f x x f x y y ( ) ( ) ( ) ( ) ——函数 y 在点 0 x 的增量。 2）等价定义１：函数 f 在点 0 x 连续  0 lim 0 x y  →  = 。 3) 等价定义２：函数 f 在点 0 x 连续        0, 0 ，当 0 | | x x −   时， 0 | ( ) ( ) | f x f x −   。 注：一个定义是等价的，根据具体的问题选用不同的表述方式。 总 的 来 讲， 函 数在 点 0 x 连 续 的要 求 是： ① f x( ) 在 点 0 x 有定义；② 0 lim ( ) x x f x → 存在；③ 0 0 lim ( ) ( ) x x f x f x → = . 任何一条不满足， f 在点 0 x 就不连续。同时，由定义可知，函数在某点是可连续，是函 数在这点的局部性质。 ５． f 在点 0 x 左（右）连续定义 ① 定义２ 设 函 数 f 在 点 0 x 点 的 右 ( 左 ) 近 旁 包 括 0 x 点 有 定 义 ， 若 0 0 lim ( ) ( ) x x f x f x → + = （ 0 0 lim ( ) ( ) x x f x f x → − = ），则称 f 在点 0 x 右（左）连续。 ② f 在点 0 x 连续的等价刻划 定理 1 函数 f 在点 0 x 连续  f 在点 0 x 既是右连续，又是左连续。 例：讨论函数 2, 0 ( ) 2, 0 x x f x x x  +  =   −  在点 x = 0 的连续性。 二 连续函数的性质和运算 定理 2（四则运算）若 f 和 g 在 0 x 点连续，则 0 , , ( ( ) 0) f f g f g g x g    也都在点 0 x 连续。 问题 两个不连续函数或者一个连续而另一个不连续的函数的和、积、商是否仍旧连续？ 定理 3（复合函数的连续性）若 f 在点 0 x 连续，记 0 0 f x u ( ) = ，函数 g 在 0 u 连续，则复合函数 g f 在 点 0 x 连续。 注 1) 据连续性定义，上述定理可表为： 0 0 0 lim [ ( )] [ ( )] [lim ( )] x x x x g f x g f x g f x → → = = .（即函数运算与极限 可以交换次序，条件是函数连续，利用它可来求一些函数的极限。） 三 初等函数的连续性